题文

已知直线ln：y=- n+1 n x+ 1 n （n是正整数）．当n=1时，直线l1：y=-2x+1与 x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1OB1（O是平面直角坐标系的原点）的面积为s1；当n=2时，直线l2：y=- 3 2 x+ 1 2 与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，…，依此类推，直线ln与x轴和y轴分别交于点An和Bn，设△AnOBn的面积为Sn． （1）求△A1OB1的面积s1； （2）求s1+s2+s3+…+s2011的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当n=1时，直线l1：y=-2x+1与 x轴和y轴的交点是A1（ 1 2 ，0）和B1（0，1） 所以OA1= 1 2 ，OB1=1， ∴s1= 1 4 ； （2）当n=2时，直线l2：y=- 3 2 x+ 1 2 与 x轴和y轴的交点是A2（ 1 3 ，0）和B2（0， 1 2 ） 所以OA2= 1 3 ，OB2= 1 2 ， ∴s2= 1 2 × 1 3 × 1 2 = 1 2 ×( 1 2 - 1 3 ) 当n=3时，直线l3：y3=- 4 3 x+ 1 3 与 x轴和y轴的交点是A3（ 1 4 ，0）和B3（0， 1 3 ） 所以OA3= 1 4 ，OB3= 1 3 ， ∴s3= 1 2 × 1 4 × 1 3 = 1 2 ( 1 3 - 1 4 ) 依此类推，sn= 1 2 ( 1 n - 1 n+1 ) ∴s1+s2+s3+…+s2011= 1 2 ( 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 2011 - 1 2012 ) ∴s1+s2+s3+…+s2011= 1 2 ( 1 2 + 1 2 - 1 2012 ) = 1 2 × 2011 2012 = 2011 4024 ．

据专家权威分析，试题“已知直线ln：y=-n+1nx+1n（n是正整数）．当n=1时，直线l1：y=-2x+1与x..”主要考查你对  一次函数的定义，三角形的周长和面积  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一次函数的定义三角形的周长和面积

考点名称：一次函数的定义

• 一次函数的定义：
  在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。
  ①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；
  ②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围时全体实数；
  ③如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数。

• 一次函数基本性质：
  1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。
  在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。
  
  2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。
  
  3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
  
  4．在两个一次函数表达式中：
  当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
  当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
  当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。
  
  5．两个一次函数（y1=k₁x+b₁,y₂=k₂x+b₂)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，
  该函数的对称轴为－（k₂b₁+k₁b₂)/(2k₁k₂)；
  当k₁,k₂正负相同时，二次函数开口向上；
  当k₁,k₂正负相反时，二次函数开口向下。
  二次函数与y轴交点为（0，b₂b₁)。
  
  6．两个一次函数(y₁=ax+b,y₂=cx+d)之比，得到的新函数y₃=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。

• 一次函数的判定：
  ①判断一个函数是否是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b的形式；
  ②当k≠0，b=0时，这个函数即是k≠0一次函数，k≠0又是正比例函数；
  ③当k=0，b≠0时，这个函数不是一次函数；
  ④一次函数的一般形式是关于x的一次二项式，它可以转化为含x、y的二元一次方程。

考点名称：三角形的周长和面积

• 三角形的概念：
  由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
  
  构成三角形的元素：
  边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
  顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
  内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
  
  三角形有下面三个特性：
  （1）三角形有三条线段；
  （2）三条线段不在同一直线上；
  （3）首尾顺次相接。
  
  三角形的表示：
  用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。

• 三角形的分类：
  （1）三角形按边的关系分类如下：
  ；
  （2）三角形按角的关系分类如下：
  
  把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

• 三角形的周长和面积：
  三角形的周长等于三角形三边之和。
  三角形面积=（底×高）÷2。