已知关于x的一元二次方程x2=(2k+1)x-k2+2有两个实数根为x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)设y=x1+x2,当y取得最小值时,求相应k的值,并求出最小值.-数学
题文
已知关于x的一元二次方程x2=(2k+1)x-k2+2有两个实数根为x1,x2. (1)求k的取值范围; (2)设y=x1+x2,当y取得最小值时,求相应k的值,并求出最小值. |
答案
(1)将原方程整理为x2-(2k+1)x+k2-2=0(1分) ∵原方程有两个实数根, ∴
解得k≥-
(2)∵x1,x2为x2-(2k+1)x+k2-2=0的两根, ∴y=x1+x2=2k+1,且k≥-
因而y随k的增大而增大,故当k=-
故答案为:k≥-
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据专家权威分析,试题“已知关于x的一元二次方程x2=(2k+1)x-k2+2有两个实数根为x1,x2.(..”主要考查你对 一次函数的定义,一元二次方程根的判别式 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
一次函数的定义一元二次方程根的判别式
考点名称:一次函数的定义
- 一次函数的定义:
在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果可以写成y=kx+b(k、b为常数,k≠0),那么我们就说y是x的一次函数,其中x是自变量,y是因变量。
①正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数;
②一般情况下,一次函数的自变量的取值范围时全体实数;
③如果一个函数是一次函数,则含有自变量x的式子是一次的,系数k不等于0,而b可以为任意实数。 - 一次函数基本性质:
1.在正比例函数时,x与y的商一定(x≠0)。在反比例函数时,x与y的积一定。
在y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,当x增大m时,函数值y则增大km,反之,当x减少m时,函数值y则减少km。
2.当x=0时,b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标,该点的坐标为(0,b)。
3.当b=0时,一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中:
当两个一次函数表达式中的k相同,b也相同时,则这两个一次函数的图像重合;
当两个一次函数表达式中的k相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像平行;
当两个一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像相交;
当两个一次函数表达式中的k不相同,b相同时,则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b);
当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时,则这两个一次函数图像互相垂直。
5.两个一次函数(y1=k1x+b1,y2=k2x+b2)相乘时(k≠0),得到的的新函数为二次函数,
该函数的对称轴为-(k2b1+k1b2)/(2k1k2);
当k1,k2正负相同时,二次函数开口向上;
当k1,k2正负相反时,二次函数开口向下。
二次函数与y轴交点为(0,b2b1)。
6.两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比,得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数,渐近线为x=-b/a,y=c/a。 - 一次函数的判定:
①判断一个函数是否是一次函数,就是判断它是否能化成y=kx+b的形式;
②当k≠0,b=0时,这个函数即是k≠0一次函数,k≠0又是正比例函数;
③当k=0,b≠0时,这个函数不是一次函数;
④一次函数的一般形式是关于x的一次二项式,它可以转化为含x、y的二元一次方程。
考点名称:一元二次方程根的判别式
- 根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根;
定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根;
定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。
根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0;
定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0;
定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。
注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。
(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。 - 根的判别式有以下应用:
①不解一元二次方程,判断根的情况。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。
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