题文

如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个 单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发 沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止 运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)． (1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式； (2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①． 求出此时△APQ的面积． (3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯 形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (4) 伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

题型：解答题  难度：偏易

答案

略

解：(1)在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3 ∴AB＝ ①P由O向A运动时，OP＝AQ＝t，AP＝4－t 过Q作QH⊥AP于H点，由QH//BO得 ∴ 即     (0<t≤4) ②当4<t≤5时，AP＝t－4  AQ=t sin∠BAO= OH= ∴ =··············(4分) (2)由题意知，此时△APQ≌△DPQ ∠AQP＝900  ∴cosA= 当0<t≤4  ∴   即 当4<t≤5时，   t=－16(舍去) ∴···············(6分) (3)存在，有以下两种情况 ①若PE//BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE 过E、P分分别作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N 则有BM=QN,由PE//BQ得 ∴ 又∵AP=4－t, ∴AN= ∴由BM=QN,得 ∴　　　∴···································(8分) ②若PQ//BE，则等腰梯形PQBE中 BQ=EP且PQ⊥OA于P点 由题意知 ∵OP+AP="OA " ∴ ∴t··············(10分) 由①②得E点坐标为 (4)①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t 可得∠QOA=∠QAO  ∴∠QOB=∠QBO ∴OQ="BQ=t       " ∴BQ=AQ=AE ∴······················(11分) ②当P由A向O运动时，OQ=OP=8－t BQ=5－t,  在Rt△OGQ中，OQ2 =" RG2" + OG2 即(8－t)2 = ∴t = 5·························(12分)

据专家权威分析，试题“如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的..”主要考查你对  一次函数的定义，正比例函数的定义，正比例函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一次函数的定义正比例函数的定义正比例函数的图像

考点名称：一次函数的定义

• 一次函数的定义：
  在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。
  ①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；
  ②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围时全体实数；
  ③如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数。

• 一次函数基本性质：
  1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。
  在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。
  
  2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。
  
  3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
  
  4．在两个一次函数表达式中：
  当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
  当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
  当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。
  
  5．两个一次函数（y1=k₁x+b₁,y₂=k₂x+b₂)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，
  该函数的对称轴为－（k₂b₁+k₁b₂)/(2k₁k₂)；
  当k₁,k₂正负相同时，二次函数开口向上；
  当k₁,k₂正负相反时，二次函数开口向下。
  二次函数与y轴交点为（0，b₂b₁)。
  
  6．两个一次函数(y₁=ax+b,y₂=cx+d)之比，得到的新函数y₃=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。

• 一次函数的判定：
  ①判断一个函数是否是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b的形式；
  ②当k≠0，b=0时，这个函数即是k≠0一次函数，k≠0又是正比例函数；
  ③当k=0，b≠0时，这个函数不是一次函数；
  ④一次函数的一般形式是关于x的一次二项式，它可以转化为含x、y的二元一次方程。

考点名称：正比例函数的定义

• 正比例函数定义：
  一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
  正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
  正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
  正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
  当k>0时（一三象限），k越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大。
  当k<0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。

• 正比例函数性质：
  定义域
  R（实数集）
  
  值域
  R（实数集）
  
  奇偶性
  奇函数
  
  单调性
  当k>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；
  当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。
  
  周期性
  不是周期函数。
  
  对称性
  对称点：关于原点成中心对称
  对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线

考点名称：正比例函数的图像

• 图象：一条经过原点的直线。
  性质：
  （1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
  （2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
  1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值；
  2、根据第一步求的x、y的值描出点；
  3、作出第二步描出的点和原点的直线（因为两点确定一直线）。

• <?xml:namespace prefix = "v" ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />正比例函数的图像：
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