题文

如图，在△ABC中，AC = BC，AB = 8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC = MN．设AM = x． （1）如果CD = 3，AM = CM，求AM的长； （2）如果CD = 3，点N在边BC上．设CN = y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果∠ACB = 90°，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试判断线段ME的长是否会改变？说明你的理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）（2），（3）线段ME的长不变，理由见解析

解：（1）∵ AC = BC，∴  ∠A =∠B． ∵ AC = BC，CD⊥AB，∴ ．……………………（1分） 由勾股定理，得 ．………………（1分） ∵ AM = CM，∴  ∠A =∠ACM． 即得  ∠ACM =∠B． ∴  △ACM∽△ABC．…………………………………………………（1分） ∴ ．∴ ．即得 ．………………（1分） （2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F． 由 AM = x，得 BM =" 8" –x． ∵ MF⊥BC，CD⊥AB， ∴∠MFB =∠ADC = 90°． 又∵  ∠A =∠B，∴  △MBF∽△ACD．……………………………（2分） ∴ ．即得 ． ∴ ． ∴ ．…………………………（1分） ∵ MC = MN，MF⊥BC， ∴ ． 即得 ．……………………………………………………（1分） 定义域为 ．………………………………………………（1分） （3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4．…………（1分） 由点N在射线CB上，可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上． （ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上． ∵  AC = BC，∠ACB = 90°，∴  ∠A =∠B = 45°． 又∵ AC = BC，CD⊥AB，AB = 8， ∴ CD = BD = 4． 即得 ． ∵ MC = MN，∴  ∠MCN =∠MNC． ∵  ∠MCN =∠MCD +∠BCD，∠MNC =∠B +∠BMN， ∴  ∠MCD =∠NME． 又∵ CD⊥AB，NE⊥AB，∴  ∠CDM =∠MEN = 90°． ∴  △MCD≌△MNE（A．A．S）． ∴ ME = CD = 4．……………………………………………………（2分） （ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上． 于是，由  ∠ABC =∠MNC +∠BMN = 45°， ∠BCD =∠MCD +∠MCN = 45°， ∠MCN =∠MNC， 得  ∠MCD =∠BMN． 再由 MC = MN，∠CDM =∠MEN = 90°， 得  △MCD≌△MNE（A．A．S）． ∴ ME = CD = 4．……………………………………………………（2分） ∴　　由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4． （1）由勾股定理求得AC=5，然后利用相似三角形的相似比求出； （2）证明△MBF∽△ACD，可得； （3）注意点N在射线CB上，应该包括两种情况：点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一..”主要考查你对  一次函数的定义，正比例函数的定义，正比例函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一次函数的定义正比例函数的定义正比例函数的图像

考点名称：一次函数的定义

• 一次函数的定义：
  在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。
  ①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；
  ②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围时全体实数；
  ③如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数。

• 一次函数基本性质：
  1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。
  在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。
  
  2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。
  
  3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
  
  4．在两个一次函数表达式中：
  当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
  当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
  当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。
  
  5．两个一次函数（y1=k₁x+b₁,y₂=k₂x+b₂)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，
  该函数的对称轴为－（k₂b₁+k₁b₂)/(2k₁k₂)；
  当k₁,k₂正负相同时，二次函数开口向上；
  当k₁,k₂正负相反时，二次函数开口向下。
  二次函数与y轴交点为（0，b₂b₁)。
  
  6．两个一次函数(y₁=ax+b,y₂=cx+d)之比，得到的新函数y₃=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。

• 一次函数的判定：
  ①判断一个函数是否是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b的形式；
  ②当k≠0，b=0时，这个函数即是k≠0一次函数，k≠0又是正比例函数；
  ③当k=0，b≠0时，这个函数不是一次函数；
  ④一次函数的一般形式是关于x的一次二项式，它可以转化为含x、y的二元一次方程。

考点名称：正比例函数的定义

• 正比例函数定义：
  一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
  正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
  正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
  正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
  当k>0时（一三象限），k越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大。
  当k<0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。

• 正比例函数性质：
  定义域
  R（实数集）
  
  值域
  R（实数集）
  
  奇偶性
  奇函数
  
  单调性
  当k>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；
  当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。
  
  周期性
  不是周期函数。
  
  对称性
  对称点：关于原点成中心对称
  对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线

考点名称：正比例函数的图像

• 图象：一条经过原点的直线。
  性质：
  （1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
  （2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
  1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值；
  2、根据第一步求的x、y的值描出点；
  3、作出第二步描出的点和原点的直线（因为两点确定一直线）。

• <?xml:namespace prefix = "v" ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />正比例函数的图像：
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