题文

阅读：我们知道，在数轴上x=1表示一个点，而平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图①．观察图①可以得出：直线x=1与直线y=2x+1的交P的坐标（1，3）就是方程组 x=1 2x-y+1=0 的解，所以这个方程组的解是 x=1 y=3 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧部分，如图②；y≤2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它的右下方的部分，如图③． 回答下列问题： （1）在直角坐标系（图④）中，用作图象的方法求出方程组 x=-2 y=-2x+2 的解； （2）用阴影部分表示不等式组 x≥-2 y≤-2x+2 y≥0 所围成的平面区域，并求围成区域的面积； （3）现有一直角三角形（其中∠A=90°，AB=2，AC=4）小车沿x轴自左向右运动，当点A到达何位置时，小车被阴影部分挡住的面积最大？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如图，由图象可得方程组的解是 x=-2 y=6 ； （2）不等式组 x≥-2 y≤-2x+2 y≥0 所围成的平面区域如图所示； 阴影部分的面积是 1 2 ×6×3=9； （3）由题意，BC所在直线与二元一次方程2x+y-2=0所表示的直线垂直． 设小车沿x轴自左向右运动，当点A的坐标为（a，0）时，小车被阴影部分挡住的面积最大．分五种情况： ①当-2≤a≤0时，此时点A与原点重合时，小车被挡住的面积最大为 (1+2)×2 2 =3； ②当0≤a≤1时，此时被挡住的面积为： S= 1 2 ? 10-2a 5 ? 10-2a 2 5 - 2(1-a)(1-a) 2 - (a-2)2 4 = (a-5)2 5 -(a-1)2- (a-2)2 4 = -21a2+20a+60 20 ， ∴当a= 10 21 时Smax= 68 21 ； ③当1≤a≤2时，此时被挡住的面积为： S= 1 2 ? 10-2a 5 - 10-2a 2 5 - (a-2)2 4 = (a-5)2 5 - (a-2)2 4 = -a2-20a+80 20 ， ∴当a=1时Smax= 59 20 ； ④当2≤a≤5时，此时点A与点（2，0）重合时，小车被挡住的面积最大为 9 5 ； ⑤当a＜-2或a＞5时，小车与阴影无公共部分． 综上所述，当点A的坐标为( 10 21 ，0)时，小车被挡住的面积最大为 68 21 ．（12分）

据专家权威分析，试题“阅读：我们知道，在数轴上x=1表示一个点，而平面直角坐标系中，x=..”主要考查你对  一次函数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一次函数的定义

考点名称：一次函数的定义

• 一次函数的定义：
  在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。
  ①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；
  ②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围时全体实数；
  ③如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数。

• 一次函数基本性质：
  1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。
  在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。
  
  2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。
  
  3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
  
  4．在两个一次函数表达式中：
  当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
  当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
  当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。
  
  5．两个一次函数（y1=k₁x+b₁,y₂=k₂x+b₂)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，
  该函数的对称轴为－（k₂b₁+k₁b₂)/(2k₁k₂)；
  当k₁,k₂正负相同时，二次函数开口向上；
  当k₁,k₂正负相反时，二次函数开口向下。
  二次函数与y轴交点为（0，b₂b₁)。
  
  6．两个一次函数(y₁=ax+b,y₂=cx+d)之比，得到的新函数y₃=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。

• 一次函数的判定：
  ①判断一个函数是否是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b的形式；
  ②当k≠0，b=0时，这个函数即是k≠0一次函数，k≠0又是正比例函数；
  ③当k=0，b≠0时，这个函数不是一次函数；
  ④一次函数的一般形式是关于x的一次二项式，它可以转化为含x、y的二元一次方程。