题文

如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（　　） A．（0，0） B．(- 1 2 ，- 1 2 ) C．( 2 2 ，- 2 2 ) D．(- 2 2 ，- 2 2 )

题型：单选题  难度：偏易

答案

先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由垂线段最短可知，当点B与点B′重合时AB最短， ∵点B在直线y=x上运动， ∴∠AOB′=45°， ∵AB′⊥OB， ∴△AOB′是等腰直角三角形， 过B′作B′C⊥x轴，垂足为C， ∴△B′CO为等腰直角三角形， ∵点A的坐标为（-1，0）， ∴OC=CB′= 1 2 OA= 1 2 ×1= 1 2 ， ∴B′坐标为（- 1 2 ，- 1 2 ）， 即当B与点B′重合时AB最短，点B的坐标为（- 1 2 ，- 1 2 ）， 故选B．

据专家权威分析，试题“如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时..”主要考查你对  一次函数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一次函数的定义

考点名称：一次函数的定义

• 一次函数的定义：
  在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。
  ①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；
  ②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围时全体实数；
  ③如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数。

• 一次函数基本性质：
  1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。
  在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。
  
  2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。
  
  3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
  
  4．在两个一次函数表达式中：
  当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
  当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
  当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。
  
  5．两个一次函数（y1=k₁x+b₁,y₂=k₂x+b₂)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，
  该函数的对称轴为－（k₂b₁+k₁b₂)/(2k₁k₂)；
  当k₁,k₂正负相同时，二次函数开口向上；
  当k₁,k₂正负相反时，二次函数开口向下。
  二次函数与y轴交点为（0，b₂b₁)。
  
  6．两个一次函数(y₁=ax+b,y₂=cx+d)之比，得到的新函数y₃=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。

• 一次函数的判定：
  ①判断一个函数是否是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b的形式；
  ②当k≠0，b=0时，这个函数即是k≠0一次函数，k≠0又是正比例函数；
  ③当k=0，b≠0时，这个函数不是一次函数；
  ④一次函数的一般形式是关于x的一次二项式，它可以转化为含x、y的二元一次方程。