如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点B在x轴的正半轴上,OA边在直线上,AB边在直线上。(1)直接写出O、A、B、C的坐标;(2)在OB上有一动点P,以O为圆心、OP为半径画弧,分别-九年级数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 一次函数的图像/2019-03-24 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点B在x轴的正半轴上,OA边在直线上,AB边在直线上。
(1)直接写出O、A、B、C的坐标;
(2)在OB上有一动点P,以O为圆心、OP为半径画弧,分别交边OA、OC 于M、N(M、N可以与A、C重合),作⊙Q与边AB、BC和都相切,⊙Q分别与边AB、BC相切于点D、E,设⊙Q的半径为r,OP的长为y,求y与r 之间的函数关系式,并写出自变量r的取值范围;
(3)以O为圆心、OA为半径作扇形OAC,请问在菱形OABC中,除去扇形OAC后剩余部分内,是否可以截下一个圆,使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥?若可以,求出这个圆的面积;若不可以,说明理由。

题型:解答题  难度:偏难

答案

解:(1)
(2)连接QD、QE,则QD⊥AB,QE⊥BC,
∵QD=QE,
∵点Q在∠ABC的平分线上,
又∵OABC是菱形,
∴点O在OB上,
∴⊙Q与弧MN相切于点P,
在Rt△QDB中,∠QBD=30°,
∴QB=2QD=2r,
∴y+3r=
其中
(3)可以,理由:弧AC的长为
 设截下的⊙G符合条件,
其半径为R,则2πR=
∴R=
由(2)知,此时OA=y=2,则⊙Q的半径
∴能截下一个圆,使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥,
此圆的面积为A=πR2=π。 

据专家权威分析,试题“如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点B在x轴的正半轴上,OA边在..”主要考查你对  一次函数的图像,求一次函数的解析式及一次函数的应用,菱形,菱形的性质,菱形的判定,直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离),弧长的计算   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

一次函数的图像求一次函数的解析式及一次函数的应用菱形,菱形的性质,菱形的判定直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)弧长的计算

考点名称:一次函数的图像

  • 函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系
    一次函数的图象:一条直线,过(0,b),(,0)两点。

  • 性质:
    (1)在一次函数图像上的任取一点P(x,y),则都满足等式:y=kx+b(k≠0)。
    (2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总交于(-b/k,0)。正比例函数的图像都经过原点。

    k,b决定函数图像的位置:
    y=kx时,y与x成正比例:
    当k>0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大;
    当k<0时,直线必通过第二、四象限,y随x的增大而减小。
    y=kx+b时:
    当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
    当 k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
    当 k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
    当 k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
    当b>0时,直线必通过第一、二象限;
    当b<0时,直线必通过第三、四象限。
    特别地,当b=0时,直线经过原点O(0,0)。
    这时,当k>0时,直线只通过第一、三象限,不会通过第二、四象限。
    当k<0时,直线只通过第二、四象限,不会通过第一、三象限。

  • 特殊位置关系:
    当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值(即一次项系数)相等;
    当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为负倒数(即两个k值的乘积为-1)一次函数的

  • 画法
    (1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
    (2)描点:在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。
    一般地,y=kx+b(k≠0)的图象过(0,b)和(-b/k,0)两点即可画出。
    正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0,0)和(1,k)两点画出即可。
    (3)连线: 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。

考点名称:求一次函数的解析式及一次函数的应用

  • 待定系数法求一次函数的解析式:
    先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到函数的解析式的方法。

    一次函数的应用:
    应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。
    (1)有图像的,注意坐标轴表示的实际意义及单位;
    (2)注意自变量的取值范围。

  • 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤:
    第一步(设):设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
    第二步(代):代入解析式得出方程或方程组。
    第三步(求):通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
    第四步(写):写出该函数的解析式。

    一次函数的应用涉及问题:
    一、分段函数问题
    分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
    合实际。

    二、函数的多变量问题
    解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
    求可以反映实际问题的函数

    三、概括整合
    (1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
    (2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

    生活中的应用:

    1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)

  • 一次函数应用常用公式:
    1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
    3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
    4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
    5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
    两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
    6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
    7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
    (x,y)为 + ,+(正,正)时该点在第一象限
    (x,y)为 - ,+(负,正)时该点在第二象限
    (x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
    (x,y)为 + ,-(正,负)时该点在第四象限
    8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
    9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
    10.
    y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
    y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
    y=kx+b+n就是向上平移n个单位
    y=kx+b-n就是向下平移n个单位
    口决:左加右减相对于x,上加下减相对于b。
    11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)

考点名称:菱形,菱形的性质,菱形的判定

  • 菱形的定义:
    在一个平面内,有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

  • 菱形的性质:
    ①菱形具有平行四边形的一切性质;
    ②菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角;
    ③菱形的四条边都相等;
    ④菱形既是轴对称图形(两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线),也是中心对称图形(对称中心是其重心,即两对角线的交点);
    ⑤在有一个角是60°角的菱形中,较短的对角线等于边长,较长的对角线是较短的对角线的根号3倍。

  • 菱形的判定:
    在同一平面内,
    (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形
    (2)定理1:四边都相等的四边形是菱形
    (3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
    菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,而且是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
    菱形的面积:S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。

考点名称:直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)

  • 直线与圆的位置关系:
    直线与圆的位置关系有三种:直线与圆相交,直线与圆相切,直线与圆相离。
    (1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点AB与⊙O相交,d<r;
    (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切,d=r。
    (3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离,AB与圆O相离,d>r。(d为圆心到直线的距离)

  • 直线与圆的三种位置关系的判定与性质:
    (1)数量法:通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定,
    如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则有:
    直线l与⊙O相交d<r;
    直线l与⊙O相切d=r;
    直线l与⊙O相离d>r;
    (2)公共点法:通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
    直线l与⊙O相交d<r2个公共点;
    直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点;
    直线l与⊙O相离d>r无公共点 。

    圆的切线的判定和性质   
    (1)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
    (2)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。

    切线长:
    在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
    切线长定理:
    从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

  • 直线与圆的位置关系判定方法:
    平面内,直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:
    1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x2+y2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的方程
    如果b2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。
    如果b2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。
    如果b2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。

    2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)2+(y-b)2=r2
    令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1<x2,那么: 
    当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时,直线与圆相离;
    当x1<x=-C/A<x2时,直线与圆相交。 

考点名称:弧长的计算

  • 弧长:
    在圆周长上的任意一段弧的长
    弧长公式:n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为。(n是圆心角度数,r是半径,l是圆心角弧长。)

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