题文

给出下列命题： ①对于实数u，v，定义一种运算“*“为：u*v=uv+v．若关于x的方程x*（a*x）=- 1 4 没有实数根，则满足条件的实数a的取值范围是0＜a＜1； ②设直线kx+（k+1）y-1=0（k为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2+S3+…+S2008= 1004 2009 ； ③函数y=- 1 x2 + 3 x 的最大值为2； ④甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有48种． 其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型：单选题  难度：偏易

答案

①根据新定义，x*（a*x）=x*（ax+x）， =x（ax+x）+（ax+x）， =（a+1）x2+（a+1）x， 所以，（a+1）x2+（a+1）x+ 1 4 =0， ∵方程没有实数根， ∴△=（a+1）2-4（a+1）× 1 4 ＜0， 即a（a+1）＜0， 解得-1＜a＜0，故本小题错误； ②当y=0时，kx-1=0，解得x= 1 k ， 当x=0时，（k+1）y-1=0，解得y= 1 k+1 ， 所以，与x轴的交点坐标为（ 1 k ，0），与y轴的交点坐标为（0， 1 k+1 ）， ∵k为正整数， ∴Sk= 1 2 × 1 k × 1 k+1 = 1 2 1 k(k+1) = 1 2 （ 1 k - 1 k+1 ）， ∴S1+S2+S3+…+S2008= 1 2 （1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 2008 - 1 2009 ）， = 1 2 （1- 1 2009 ）， = 1 2 × 2008 2009 ， = 1004 2009 ，故本小题正确； ③∵y=- 1 x2 + 3 x =-（ 1 x2 - 3 x + 9 4 ）+ 9 4 =-（ 1 x - 3 2 ）2+ 9 4 ， ∴当 1 x = 3 2 ，即x= 2 3 时，函数有最大值 9 4 ，故本小题错误； ④设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况， 同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况， 所以，不同的选修方案共有6×4×4=96种，故本小题错误； 综上所述，真命题有②共1个． 故选A．

据专家权威分析，试题“给出下列命题：①对于实数u，v，定义一种运算“*“为：u*v=uv+v．若关于..”主要考查你对  一次函数的图像，一元二次方程根的判别式，二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一次函数的图像一元二次方程根的判别式二次函数的最大值和最小值

考点名称：一次函数的图像

• 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系
  一次函数的图象：一条直线，过（0，b），（，0）两点。

• 性质：
  （1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
  （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。
  
  k，b决定函数图像的位置：
  y=kx时，y与x成正比例：
  当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；
  当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
  y=kx+b时：
  当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；
  当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；
  当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；
  当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
  当b>0时，直线必通过第一、二象限；
  当b<0时，直线必通过第三、四象限。
  特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。
  这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。
  当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

• 特殊位置关系：
  当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；
  当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）一次函数的
  

• 画法：
  （1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
  （2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
  一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。
  正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。
  （3）连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。
  

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。