题文

如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．

（1）求直线AB的解析式； （2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ （3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b　 由题意，得①b=6②8k+b=0 解得k=-b=6 所以，直线AB的解析式为y=-x+6； （2）由AO=6，BO=8得AB=10 所以AP=t，AQ=10-2t 当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB． 所以t÷10=(10-2t)÷6 解得t=(秒) ； （3）过点Q作QE垂直AO于点E． 在Rt△AOB中，Sin∠BAO=BO/AB= 在Rt△AEQ中，QE=AQSin∠BAO=(10-2t)×=8-()t 所以，S△APQ=()AP×QE=()t×(8-()t) =-()t2+4t= 解得t=2（秒）或t=3（秒）

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用，相似三角形的判定，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用相似三角形的判定解直角三角形

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)

考点名称：相似三角形的判定

• 相似三角形：
  对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
  互为相似形的三角形叫做相似三角形。
  
  例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'

• 相似三角形的判定：
  1.基本判定定理
  (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
  (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)
  (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)
  (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。
  2.直角三角形判定定理
  (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
  (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
  3.一定相似：
  （1）.两个全等的三角形
  （全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）
  （2）.两个等腰三角形
  （两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）
  （3）.两个等边三角形
  (两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　
  （4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。

• 相似三角形判定方法：
  证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
  一、（预备定理）
  平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）
  二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
  三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。 
  四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似
  五（定义）
  对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
  六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。
  七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。
  八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc
  
  易失误
  比值是一个具体的数字如：AB/EF=2
  而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1

考点名称：解直角三角形

• 概念：
  在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
  
  解直角三角形的边角关系：
  在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
  （1）三边之间的关系：（勾股定理）；
  （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
  （3）边角之间的关系：。

• 解直角三角形的函数值:
  

  锐角三角函数：
  sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a
  （1）互余角的三角函数值之间的关系：
  若∠ A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA
  （2）同角的三角函数值之间的关系：
  ①sin²A+cos²A=1
  ②tanA=sinA/cosA
  ③tanA=1/tanB
  ④a/sinA=b/sinB=c/sinC
  （3）锐角三角函数随角度的变化规律：
  锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。

• 解直角三角形的应用：
  一般步骤是：
  （1）将实际问题抽象为数学问题（画图，转化为直角三角形的问题）；
  （2）根据题目的条件，适当选择锐角三角函数等去解三角形；
  （3）得到数学问题的答案；
  （4）还原为实际问题的答案。

• 解直角三角形的函数值列举：
  sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097 sin3=0.05233595624294383
  sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816 sin6=0.10452846326765346
  sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544 sin9=0.15643446504023087
  sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448 sin12=0.20791169081775931
  sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773 sin15=0.25881904510252074
  sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474
  sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027
  sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015
  sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675
  sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994
  sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027
  sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731
  sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375
  sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582
  sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475
  sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705 sin48=0.7431448254773941
  sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708
  sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474
  sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239
  sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386
  sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678
  sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009
  sin67=0.9205048534524404 sin68=0.9271838545667873 sin69=0.9335804264972017
  sin70=0.9396926207859083 sin71=0.9455185755993167 sin72=0.9510565162951535
  sin73=0.9563047559630354 sin74=0.9612616959383189 sin75=0.9659258262890683
  sin76=0.9702957262759965 sin77=0.9743700647852352 sin78=0.9781476007338057
  sin79=0.981627183447664 sin80=0.984807753012208 sin81=0.9876883405951378
  sin82=0.9902680687415704 sin83=0.992546151641322 sin84=0.9945218953682733
  sin85=0.9961946980917455 sin86=0.9975640502598242 sin87=0.9986295347545738
  sin88=0.9993908270190958 sin89=0.9998476951563913
  sin90=1

  cos1=0.9998476951563913 cos2=0.9993908270190958 cos3=0.9986295347545738
  cos4=0.9975640502598242 cos5=0.9961946980917455 cos6=0.9945218953682733
  cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378
  cos10=0.984807753012208 cos11=0.981627183447664 cos12=0.9781476007338057
  cos13=0.9743700647852352 cos14=0.9702957262759965 cos15=0.9659258262890683
  cos16=0.9612616959383189 cos17=0.9563047559630355 cos18=0.9510565162951535
  cos19=0.9455185755993168 cos20=0.9396926207859084 cos21=0.9335804264972017
  cos22=0.9271838545667874 cos23=0.9205048534524404 cos24=0.9135454576426009
  cos25=0.9063077870366499 cos26=0.898794046299167 cos27=0.8910065241883679
  cos28=0.882947592858927 cos29=0.8746197071393957 cos30=0.8660254037844387
  cos31=0.8571673007021123 cos32=0.848048096156426 cos33=0.838670567945424
  cos34=0.8290375725550417 cos35=0.8191520442889918 cos36=0.8090169943749474
  cos37=0.7986355100472928 cos38=0.7880107536067219 cos39=0.7771459614569709
  cos40=0.766044443118978 cos41=0.754709580222772 cos42=0.7431448254773942
  cos43=0.7313537016191705 cos44=0.7193398003386512 cos45=0.7071067811865476
  cos46=0.6946583704589974 cos47=0.6819983600624985 cos48=0.6691306063588582
  cos49=0.6560590289905074 cos50=0.6427876096865394 cos51=0.6293203910498375
  cos52=0.6156614753256583 cos53=0.6018150231520484 cos54=0.5877852522924731
  cos55=0.5735764363510462 cos56=0.5591929034707468 cos57=0.5446390350150272
  cos58=0.5299192642332049 cos59=0.5150380749100544 cos60=0.5000000000000001
  cos61=0.4848096202463371 cos62=0.46947156278589086 cos63=0.4539904997395468
  cos64=0.43837114678907746 cos65=0.42261826174069944 cos66=0.4067366430758004
  cos67=0.3907311284892737 cos68=0.3746065934159122 cos69=0.35836794954530015
  cos70=0.3420201433256688 cos71=0.32556815445715675 cos72=0.30901699437494745
  cos73=0.29237170472273677 cos74=0.27563735581699916 cos75=0.25881904510252074
  cos76=0.24192189559966767 cos77=0.22495105434386514 cos78=0.20791169081775923
  cos79=0.19080899537654491 cos80=0.17364817766693041 cos81=0.15643446504023092
  cos82=0.13917310096006546 cos83=0.12186934340514749 cos84=0.10452846326765346
  cos85=0.08715574274765836 cos86=0.06975647374412523 cos87=0.052335956242943966
  cos88=0.03489949670250108 cos89=0.0174524064372836
  cos90=0

  tan1=0.017455064928217585 tan2=0.03492076949174773 tan3=0.052407779283041196
  tan4=0.06992681194351041 tan5=0.08748866352592401 tan6=0.10510423526567646
  tan7=0.1227845609029046 tan8=0.14054083470239145 tan9=0.15838444032453627
  tan10=0.17632698070846497 tan11=0.19438030913771848 tan12=0.2125565616700221
  tan13=0.2308681911255631 tan14=0.24932800284318068 tan15=0.2679491924311227
  tan16=0.2867453857588079 tan17=0.30573068145866033 tan18=0.3249196962329063
  tan19=0.34432761328966527 tan20=0.36397023426620234 tan21=0.3838640350354158
  tan22=0.4040262258351568 tan23=0.4244748162096047 tan24=0.4452286853085361
  tan25=0.4663076581549986 tan26=0.4877325885658614 tan27=0.5095254494944288
  tan28=0.5317094316614788 tan29=0.554309051452769 tan30=0.5773502691896257
  tan31=0.6008606190275604 tan32=0.6248693519093275 tan33=0.6494075931975104
  tan34=0.6745085168424265 tan35=0.7002075382097097 tan36=0.7265425280053609
  tan37=0.7535540501027942 tan38=0.7812856265067174 tan39=0.8097840331950072
  tan40=0.8390996311772799 tan41=0.8692867378162267 tan42=0.9004040442978399
  tan43=0.9325150861376618 tan44=0.9656887748070739 tan45=0.9999999999999999
  tan46=1.0355303137905693 tan47=1.0723687100246826 tan48=1.1106125148291927
  tan49=1.1503684072210092 tan50=1.19175359259421 tan51=1.234897156535051
  tan52=1.2799416321930785 tan53=1.3270448216204098 tan54=1.3763819204711733
  tan55=1.4281480067421144 tan56=1.4825609685127403 tan57=1.5398649638145827
  tan58=1.6003345290410506 tan59=1.6642794823505173 tan60=1.7320508075688767
  tan61=1.8040477552714235 tan62=1.8807264653463318 tan63=1.9626105055051503
  tan64=2.050303841579296 tan65=2.1445069205095586 tan66=2.246036773904215
  tan67=2.355852365823753 tan68=2.4750868534162946 tan69=2.6050890646938023
  tan70=2.7474774194546216 tan71=2.904210877675822 tan72=3.0776835371752526
  tan73=3.2708526184841404 tan74=3.4874144438409087 tan75=3.7320508075688776
  tan76=4.0107809335358455 tan77=4.331475874284153 tan78=4.704630109478456
  tan79=5.144554015970307 tan80=5.671281819617707 tan81=6.313751514675041
  tan82=7.115369722384207 tan83=8.144346427974593 tan84=9.514364454222587
  tan85=11.43005230276132 tan86=14.300666256711942 tan87=19.08113668772816
  tan88=28.636253282915515 tan89=57.289961630759144
  tan90=(无限)