如图,在Rt△OAB中,∠A=90°,∠ABO=30°,OB=,边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D。(1)求点G的坐标;(2)求直线CD的解析式;(3)在直线CD上和平面内是否分别存在-九年级数学
题文
如图,在Rt△OAB中,∠A=90°,∠ABO=30°,OB=,边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D。 |
(1)求点G的坐标; (2)求直线CD的解析式; (3)在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P,使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点Q得坐标;若不存在,请说明理由。 |
答案
解:(1)∵DC是AB垂直平分线,OA垂直AB, ∴G点为OB的中点 ∵ ∴。 |
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(2)过点C作CH⊥x轴于点H 在Rt△ABO中,∠ABO=30°, ∴ 即 又∵CD垂直平分AB ∴BC=2, 在Rt△CBH中,CH=BC=1, ∴ ∴ ∵∠DGO=60° ∴ ∴ ∴D(0,4) 设直线CD的解析式为:y=kx+b 则 解得 ∴。 |
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(3)存在点Q、P,使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形 ①如图,当OD=DQ=QP=OP=4时,四边形DOPQ为菱形 设QP交x轴于点E,在Rt△OEP中,OP=4,∠OPE=30° ∴OE=2, ∴ |
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②如图,当OD=DQ=QP=OP=4时,四边形DOPQ为菱形, 延长QP交x轴于点F,在Rt△POF中,OP=4,∠FPO=30° ∴ ∴ ∴ |
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③如图,当PD=DQ=QO=OP=时,四边形DOPQ为菱形, 在Rt△DQM中,∠MDQ=30°, ∴ ∴。 |
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④如图,当OD=DQ=QP=OP=4时,四边形DOPQ为菱形, 设PQ交x轴于点N,此时∠OQP=∠ODQ=30° 在Rt△ONQ中, ∴ ∴ 综上所述,满足条件的点Q共有四点:,(,-2)。 |
据专家权威分析,试题“如图,在Rt△OAB中,∠A=90°,∠ABO=30°,OB=,边AB的垂直平分线CD分..”主要考查你对 求一次函数的解析式及一次函数的应用,菱形,菱形的性质,菱形的判定,垂直平分线的性质 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
求一次函数的解析式及一次函数的应用菱形,菱形的性质,菱形的判定垂直平分线的性质
考点名称:求一次函数的解析式及一次函数的应用
- 待定系数法求一次函数的解析式:
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到函数的解析式的方法。
一次函数的应用:
应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。
(1)有图像的,注意坐标轴表示的实际意义及单位;
(2)注意自变量的取值范围。 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤:
第一步(设):设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
第二步(代):代入解析式得出方程或方程组。
第三步(求):通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
第四步(写):写出该函数的解析式。
一次函数的应用涉及问题:
一、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
合实际。二、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
求可以反映实际问题的函数三、概括整合
(1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
生活中的应用:
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)一次函数应用常用公式:
1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
(x,y)为 + ,+(正,正)时该点在第一象限
(x,y)为 - ,+(负,正)时该点在第二象限
(x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
(x,y)为 + ,-(正,负)时该点在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
10.
y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口决:左加右减相对于x,上加下减相对于b。
11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)
考点名称:菱形,菱形的性质,菱形的判定
- 菱形的定义:
在一个平面内,有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 菱形的性质:
①菱形具有平行四边形的一切性质;
②菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角;
③菱形的四条边都相等;
④菱形既是轴对称图形(两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线),也是中心对称图形(对称中心是其重心,即两对角线的交点);
⑤在有一个角是60°角的菱形中,较短的对角线等于边长,较长的对角线是较短的对角线的根号3倍。菱形的判定:
在同一平面内,
(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形
(2)定理1:四边都相等的四边形是菱形
(3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,而且是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
菱形的面积:S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。
考点名称:垂直平分线的性质
- 垂直平分线的概念:
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。
如图:直线MN即为线段AB的垂直平分线。 - 垂直平分线的性质:
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。
逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
3.如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相 等。
(此时以外心为圆心,外心到顶点的长度为半径,所作的圆为此三角形的外接圆。)
判定:
①利用定义;
②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合) 尺规作法:(用圆规作图)
1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。
3、连接这两个交点。
原理:等腰三角形的高垂直平分底边。
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