题文

在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m经过点A（2，0），交y轴于点B，点D为x轴上一点，且S△ADB=1。 （1）求m的值； （2）求线段OD的长； （3）当点E在直线AB上（点E与点B不重合），且∠BDO=∠EDA，求点E的坐标。

（备用图）

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1 ）∵直线y=-x+m 经过点A （2 ，0 ）， ∴0=-2+m ， ∴m=2 ； （2 ）∵直线y=-x+2 交y 轴于点B ， ∴点B 的坐标为（0 ，2 ）， ∴OB=2 ， ∵S △ADB=AD·OB=1 ， ∴AD=1 ， ∵点A 的坐标为（2 ，0 ）， ∴点D 的坐标为（1 ，0 ）或（3 ，0 ）， ∴OD=1 或OD=3 ； （3 ）①当点D 的坐标为（1 ，0 ）时，如图所示， 取点B ′（0 ，-2 ），连接B ′D 并延长，交直线BA 于点E ． ∵OB=OB ′，AO ⊥BB ′于O ， ∴OD 为BB ′的垂直平分线． ∴DB=DB ′， ∴∠1= ∠2 ． 又∵∠2= ∠3 ， ∴∠1= ∠3 ， 设直线B ′D 的解析式为y=kx-2 （k ≠0 ）， ∵直线B ′D 经过点D （1 ，0 ）， ∴0=k-2 ， ∴k=2 ， ∴直线B ′D 的解析式为y=2x-2 ， 联立得， 解得， ∴点E 的坐标为（，）； ②当点D 的坐标为（3 ，0 ）时，如图所示， 取点B ′（0 ，-2 ），连接B ′D ，交直线BA 于点E ， 同①的方法，可得∠1= ∠2 ， 直线B ′D 的解析式为y=x-2 ， 联立得 ， 解得  ， ∴点E 的坐标为（ ，- ）， 综上所述，点E 的坐标为（ ， ）或（，-）。

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m经过点A（2，0），交y轴于点B，..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用垂直平分线的性质

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)

考点名称：垂直平分线的性质

• 垂直平分线的概念：
  垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
  如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。
  

• 垂直平分线的性质：
  1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
  2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
  逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
  3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
  4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相 等。
  （此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。）
  
  判定：
  ①利用定义；
  ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
  （即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）

• 尺规作法：（用圆规作图）
  1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
  2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。
  3、连接这两个交点。
  原理：等腰三角形的高垂直平分底边。