题文

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，OA=60cm，OC=80cm．动点P从点O出发，以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动，到达点C即停止．设点P运动的时间为ts． （1）过点P作对角线OB的垂线，垂足为点T．求PT的长y与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）在点P运动过程中，当点O关于直线AP的对称点O′恰好落在对角线OB上时，求此时直线AP的函数解析式； （3）探索：以A，P，T三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC面积的 1 4 ？请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）在矩形OABC中， 因为OA=60，OC=80， 所以OB=AC= 602+802 =100． 因为PT⊥OB， 所以Rt△OPT∽Rt△OBC． 因为 PT BC = OP OB ，即 PT 60 = 5t 100 ， 所以y=PT=3t． 当点P运动到C点时即停止运动，此时t的最大值为 80 5 =16， 所以，t的取值范围是0≤t≤16． （2）（如图2）当O点关于直线AP的对称点O'恰好在对角线OB上时，A，T，P三点在 一条直线上． 所以AP⊥OB，∠1=∠2． 所以Rt△AOP∽Rt△OCB， 所以 OP CB = AO OC ． 所以OP=45． 所以点P的坐标为（45，0）． 设直线AP的函数解析式为y=kx+b． 将点A（0，60）和点P（45，0）代入解析式， 得 60=0+b 0=45k+b ， 解这个方程组得 k=- 4 3 b=60 ． 所以此时直线AP的函数解析式是y=- 4 3 x+60． （3）由（2）知，当t= 45 5 =9时，A，T，P三点在一条直线上，此时点A，T，P不构 成三角形． 所以分两种情况： 1、当0＜t＜9时，点T位于△AOP的内部（如图1），过A点作AE⊥OB，垂足为点E， 由AO?AB=OB?AE可得AE=48． 所以S△APT=S△AOP-S△ATO-S△OTP= 1 2 ×60×5t- 1 2 ×4t×48- 1 2 ×4t×3t=-6t2+54t． 若S△APT= 1 4 S矩形OABC， 则-6t2+54t=1200，即t2-9t+200=0． 此时，△=（-9）2-4×1×200＜0， 所以该方程无实数根． 所以当0＜t＜9时，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的 1 4 ． 2、当9＜t≤16时，点T位于△AOP的外部． 此时S△APT=S△ATO+S△OTP-S△AOP=6t2-54t． 若S△APT= 1 4 S矩OABC， 则6t2-54t=1200，即t2-9t-200=0． 解得t1= 9+ 881 2 ，t2= 9- 881 2 ＜0（舍去）． 由于881＞625=252， 所以t= 9+ 881 2 ＞ 9+ 625 2 =17． 而此时9＜t≤16， 所以t= 9+ 881 2 也不符合题意，应舍去． 所以当9＜t≤16时，以A，P，T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形OABC面积的 1 4 ． 综上所述，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的 1 4 ．

据专家权威分析，试题“如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)