题文

已知：如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA=OB=1，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ=45°，射线PQ交x轴于点Q． （1）求直线AB的解析式． （2）△OPQ能否是等腰三角形？如果能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． （3）无论m为何值，（2）中求出的P点是否始终在直线y=mx+ 1-m 2 （m≠0）上？请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由OA=OB=1可知点A、B的坐标是A（0，1），B（1，0）， 把A（0，1），B（1，0）代入y=kx+b得： b=1 k+b=0 ， 解得：k=-1，b=1， 则y=-x+1； （2）△OPQ可以是等腰三角形． 过P点PE⊥OA交OA于点E， （ⅰ）若OP=OQ， 则∠OPQ=∠OQP=∠OPQ， ∴∠POQ=90°， ∴点P与点A重合， ∴点P坐标为（0，1）， （ⅱ）若QP=QO， 则∠OPQ=∠QOP=45°， 所以PQ⊥QO， 可设P（x，x）代入y=-x+1得x= 1 2 ， ∴点P坐标为（ 1 2 ， 1 2 ）， （ⅲ）若PO=PQ， ∵∠OPQ+∠1=∠2+∠3， 而∠OPQ=∠3=45°， ∴∠1=∠2， 又∵∠3=∠4=45°， ∴△AOP≌△BPQ（AAS）， PB=OA=1， ∴AP= 2 -1 由勾股定理求得PE=AE=1- 2 2 ， ∴EO= 2 2 ， ∴点P坐标为（1- 2 2 ， 2 2 ）， ∴点P坐标为（0，1）或（ 1 2 ， 1 2 ）或（1- 2 2 ， 2 2 ）时，△OPQ是等腰三角形． （3）把x=0代入y=mx+ 1-m 2 ≠1； 把x= 1 2 代入y=mx+ 1-m 2 = 1 2 ； 把x=1- 2 2 代入y=mx+ 1-m 2 ≠ 2 2 ， 所以，（2）中求得的点P，只有当点P坐标为（ 1 2 ， 1 2 ）时，P点始终在直线y=mx+ 1-m 2 （m≠0）上．

据专家权威分析，试题“已知：如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA=OB=1，..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)