题文

如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）过点A作AE⊥x轴垂足为E，如图（1） ∵A（-3，4）， ∴AE=4OE=3， ∴OA= AE2+OE2 =5， ∵四边形ABCO为菱形， ∴OC=CB=BA=0A=5， ∴C（5，0）（1分） 设直线AC的解析式为：y=kx+b， ∵ 5k+b=0 -3k+b=4 ， ∴ k=- 1 2 b= 5 2 ， ∴直线AC的解析式为y=- 1 2 x+ 5 2 ．（1分） （2）由（1）得M点坐标为（0， 5 2 ）， ∴OM= 5 2 ， 如图（1），当P点在AB边上运动时 由题意得OH=4， ∴HM=OH-OM=4- 5 2 = 3 2 ， ∴s= 1 2 BP?MH= 1 2 （5-2t）? 3 2 ， ∴s=- 3 2 t+ 15 4 （0≤t＜ 5 2 ），2分 当P点在BC边上运动时，记为P1， ∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM， ∴△OMC≌△BMC， ∴OM=BM= 5 2 ，∠MOC=∠MBC=90°， ∴S= 1 2 P1B?BM= 1 2 （2t-5） 5 2 ， ∴S= 5 2 t- 25 4 （ 5 2 ＜t≤5），2分 （3）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K， ∵∠AOC=∠ABC， ∴∠AOM=∠ABM， ∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°， ∴∠MPB=∠AOH， ∴∠MPB=∠MBH． 当P点在AB边上运动时，如图（2） ∵∠MPB=∠MBH， ∴PM=BM， ∵MH⊥PB， ∴PH=HB=2， ∴PA=AH-PH=1， ∴t= 1 2 ，（1分） ∵AB∥OC， ∴∠PAQ=∠OCQ， ∵∠AQP=∠CQO， ∴△AQP∽△CQO， ∴ AQ CQ = AP CO = 1 5 ， 在Rt△AEC中，AC= AE2+EC2 = 42+82 =4 5 ， ∴AQ= 2 5 3 ，QC= 10 5 3 ， 在Rt△OHB中，OB= HB2+HO2 = 22+42 =2 5 ， ∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK， ∴OK= 5 ，AK=KC=2 5 ， ∴QK=AK-AQ= 4 5 3 ， ∴tan∠OQC= OK QK = 3 4 ，（1分） 当P点在BC边上运动时，如图（3）， ∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH， ∴tan∠MPB=tan∠MBH， ∴ BM BP = HM HB ，即 5 2 BP = 3 2 2 ， ∴BP= 10 3 ， ∴t= 25 6 ，（1分） ∴PC=BC-BP=5- 10 3 = 5 3 ． 由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA， ∴ CQ AQ = CP AO ， ∴ CQ AQ = 1 3 ， CQ= 1 4 AC= 5 ， ∴QK=KC-CQ= 5 ， ∵OK= 5 ， ∴tan∠OQK= OK KQ =1．（1分） 综上所述，当t= 1 2 时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为 3 4 ． 当t= 25 6 时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．

据专家权威分析，试题“如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)