题文

如图，直线MN：y=-x+b与x轴交于点M（4，0），与y轴交于点N，长方形ABCD的边AB在x轴上，AB=2，AD=1．长方形ABCD由点A与点O重合的位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向作匀速直线运动，当点A与点M重合时停止运动．设长方形运动的时间为t秒，长方形ABCD与△OMN重合部分的面积为S． （1）求直线MN的解析式； （2）当t=1时，请判断点C是否在直线MN上，并说明理由； （3）请求出当t为何值时，点D在直线MN上； （4）直接写出在整个运动过程中S与t的函数关系式．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵点M（4，0）在y=-x+b上， ∴0=-4+b， ∴b=4． ∴直线MN的解析式为：y=-x+4； （2）当t=1时，点C在直线MN上， ∵当t=1时，C（3，1）， ∴当x=3时，y=-3+4=1． ∵C点的纵坐标y=1， ∴点C（3，1）在直线MN上． （3）∵开始时D点的坐标为（0，1）， ∴平移后D点纵坐标为1， ∴1=-x+4， ∴x=3． ∴平移后点D的坐标为（3，1）． ∴t=（3-0）÷1=3 ∴t=3时，点D在直线MN上； （4）由题意，得 当0≤t≤1时，如图1 S=2 当1＜t≤2时，如图2， ∵MN的解析式为y=-x+4， 当x=0时，y=4， 当y=0时，x=4， ∴OM=ON=4， ∴tan∠OMN=1． ∴∠OMN=45°， ∴BM=BE． ∵MB=4-2-t=2-t， ∴BE=2-t． ∴CF=CE=1-（2-t）=t-1 S=2- (t-1)2 2 ， =-0.5t2+t+1.5； 当2＜t≤3时，如图3，作EF⊥AB于E， ∴EF=1， ∴EM=1． ∵MB=t+2-4=t-2， ∴AM=2-（t-2）=4-t， ∴AE=4-t-1=3-t， ∴DF=3-t， ∴S= [(3-t)+(4-t)]×1 2 =-t+3.5； 当3＜t≤4时，如图4， ∵AM=AF=4-t， ∴S= (4-t)2 2 =0.5t2-4t+8， 综上所述： S= 2(0≤t≤1) -0.5t2+t+1.5(1＜t≤2) -t+3.5(2＜t≤3) 0.5t2-4t+8(3＜t≤4) ．

据专家权威分析，试题“如图，直线MN：y=-x+b与x轴交于点M（4，0），与y轴交于点N，长方形A..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)