题文

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OC在y轴正半轴，且顶点O与坐标原点重合，点A的坐标为（2，4），直线y=-x+b过点A，与x轴交点B． （1）点B的坐标为______． （2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度沿BO的方向向O运动，过点M作MQ⊥x轴，交线段BA或线段AO于点Q，当点P到达A点时，点P和点M都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒． ①设△APQ的面积为S，求S关于t的函数关系式； ②是否存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）将点A（2，4）代入y=-x+b， 得4=-2+b，解得b=6， ∴y=-x+6， 当y=0时，x=6， ∴点B的坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． （2）①设直线y=-x+6与y轴交于点D，则D（0，6）， ∵B（6，0）， ∴OB=OD=6，∠OBD=∠ODB=45°． 过点A（2，4）作AN⊥OB于N，则AN=OC=4，ON=AC=2，BN=AN=4， ∴当点P到达点C时，点M到达点N． 分两种情况讨论： （i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图1． ∵OP=t，BM=QM=t， ∴PQ∥OB，PQ=OM=OB-BM=6-t，CP=OC-OP=4-t， ∴S= 1 2 PQ?CP= 1 2 （6-t）（4-t）= 1 2 t2-5t+12； （ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图2，延长MQ交AC于点E． ∵OC+CP=t，BM=t， ∴AP=6-t，OM=OB-BM=6-t． ∵tan∠AON= QM OM = AN ON ， ∴ QM 6-t = 4 2 ， ∴QM=12-2t， ∴QE=EM-QM=4-（12-2t）=2t-8， ∴S= 1 2 AP?QE= 1 2 （6-t）（2t-8）=-t2+10t-24． 综上可知，S= 1 2 t2-5t+12(0≤t≤4) -t2+10t-24(4＜t≤6) ； ②存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，理由如下： 分两种情况讨论： （i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图3． ∵S△MPQ= 1 2 PQ?QM= 1 2 （6-t）t=- 1 2 t2+3t，S= 1 2 t2-5t+12， ∴- 1 2 t2+3t= 1 2 t2-5t+12， 整理，得t2-8t+12=0， 解得t1=2，t2=6（不合题意舍去）； （ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图4． ∵QM=12-2t，PE=|CE-CP|=|（6-t）-（t-4）|=|10-2t|， ∴S△MPQ= 1 2 QM?PE= 1 2 （12-2t）|10-2t|=（6-t）|10-2t|， 又∵S= 1 2 AP?QE= 1 2 （6-t）（2t-8）=（6-t）（t-4）， ∴（6-t）|10-2t|=（6-t）（t-4）， ∵t=6时，M与Q重合，不合题意舍去， ∴10-2t=±（t-4）， 当10-2t=t-4时，t= 14 3 ； 当10-2t=-（t-4）时，t=6舍去． 综上可知，存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，此时t的值为2或 14 3 ．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OC在y轴正半轴，且顶点..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)