题文

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=- 3 4 x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点． （1）求点A，B，C的坐标； （2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标； （3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出 BE CD 的值；如果不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，∴x=-1，点B的坐标为（-1，0）．（1'） 在y=- 3 4 x+3中，当y=0时，- 3 4 x+3=0，∴x=4，点C的坐标为（4，0）． （2分） 由题意，得 y=x+1 y=- 3 4 x+3 解得 x= 8 7 y= 15 7 ∴点A的坐标为（ 8 7 ， 15 7 ）．（3分） （2）当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）． 由（1），得B（-1，0），C（4，0），∴BC=5． ①当BD1=D1C时，过点D1作D1M1⊥x轴，垂足为点M1，则BM1=M1C= 1 2 BC． ∴BM1= 5 2 ，OM1= 5 2 -1= 3 2 ，x= 3 2 ． ∴y=- 3 4 × 3 2 +3= 15 8 ，点D1的坐标为( 3 2 ， 15 8 )．（4分） ②当BC=BD2时，过点D2作D2M2⊥x轴，垂足为点M2，则D2M22+M2B2=D2B2， ∵M2B=-x-1，D2M2=- 3 4 x+3，D2B=5， ∴（-x-1）2+（- 3 4 x+3）2=52． 解得x1=- 12 5 ，x2=4（舍去）．此时，y=- 3 4 ×(- 12 5 )+3= 24 5 ． ∴点D2的坐标为(- 12 5 ， 24 5 )．（6分） ③当CD3=BC，或CD4=BC时，同理可得D3（0，3），D4（8，-3）．（9分） 由此可得点D的坐标分别为D1（ 3 2 ， 15 8 ），D2（- 12 5 ， 24 5 ），D3（0，3），D4（8，-3）． 评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得（1分），2个点的坐标得（3分），3个点的坐标得（5分），4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关． （3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）． ①当四边形AE1OD1为平行四边形时， BE1 CD1 = 3 2 20 ． （10分） ②当四边形AD2E1O为平行四边形时， BE1 CD2 = 2 10 ．（11分） ③当四边形AOD1E2为平行四边形时， BE2 CD1 = 27 2 20 ．（12分）

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-34x+3交于点A，分别..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)