题文

如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3 3 ）．动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1， 3 ，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 3 3 （长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动． 请解答下列问题： （1）过A，B两点的直线解析式是______； （2）当t﹦4时，点P的坐标为______；当t﹦______，点P与点E重合； （3）①作点P关于直线EF的对称点P′．在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？ ②当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）y=- 3 x+3 3 ；（4分） （2）（0， 3 ），t= 9 2 ；（4分）（各2分） （3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1） ∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90° ∴△EOP≌△FGP，∴OP=PG﹒ 又∵OE=FG= 3 3 t，∠A=60°，∴AG= FG tan60° = 1 3 t 而AP=t， ∴OP=3-t，PG=AP-AG= 2 3 t 由3-t= 2 3 t得t= 9 5 ；（1分） 当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P在线段BA上时， 过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2） ∵OE= 3 3 t，∴BE=3 3 - 3 3 t，∴EF= BE tan60° =3- t 3 ∴MP=EH= 1 2 EF= 9-t 6 ，又∵BP=2（t-6） 在Rt△BMP中，BP?cos60°=MP 即2（t-6）? 1 2 = 9-t 6 ，解得t= 45 7 ．（1分） 综上所述，t为 9 5 或 45 7 时，四边形PEP'F为菱形． ②存在﹒理由如下： ∵t=2，∴OE= 2 3 3 ，AP=2，OP=1 将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3） ∵OB⊥EF， ∴点B'在直线EF上， ∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO-PO长度 ∴C点坐标为（- 2 3 3 ， 2 3 3 -1） 过F作FQ∥B'C，交EC于点Q， 则△FEQ∽△B'EC 由 BE FE = B′E FE = CE QE = 3 ，可得Q的坐标为（- 2 3 ， 3 3 ）（1分） 根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（- 2 3 ， 3 ）也符合条件．（1分）

据专家权威分析，试题“如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)