题文

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，0C=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N． （1）填空：D点坐标是（______，______），E点坐标是（______，______）； （2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处， ∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD， ∴OA=OD， ∵OA=2， ∴OD=2， ∴D点坐标是（2，0），DE=OD=2， ∴E点坐标是（2，2）， 故答案为：（2，0），（2，2）； （2）存在点M使△CMN为等腰三角形，理由如下： 由翻折可知四边形AODE为正方形， 过M作MH⊥BC于H， ∵∠PDM=∠PMD=45°，则∠NMH=∠MNH=45°， NH=MH=4，MN=4 2 ， ∵直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE， ∴设MN的解析式为y=x+b， 而DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6， ∴M（2，2+b），N（6，6+b）， CM= 42+(2+b)2 ，CN=6+b，MN=4 2 ， 分三种情况讨论： ①当CM=CN时， 42+（2+b）2=（6+b）2， 解得：b=-2，此时M（2，0）； ②当CM=MN时， 42+（2+b）2=（4 2 ）2， 解得：b1=2，b2=-6（不合题意舍去）， 此时M（2，4）； ③当CN=MN时， 6+b=4 2 ， 解得：b=4 2 -6，此时M（2，4 2 -4）； 综上所述，存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为： （2，0），（2，4），（2，4 2 -4）； （3）根据题意得： 当0≤x≤2时， ∵∠BPN+∠DPE=90°， ∠BPN+∠BNP=90°， ∴∠DPE=∠BNP， 又∠PED=∠NBP=90°， ∴△DEP∽△PBN， ∴ PB DE = BN EP ， ∴ 6-x 2 = BN 2-x ， ∴BN= (2-x)(6-x) 2 ， ∴S△DBN= 1 2 ?BN?BE = 1 2 ? (2-x)(6-x) 2 ?4 整理得：S=x2-8x+12； 当2＜x≤6时， ∵△PBN∽△DEP， ∴ PB NB = DE PB ， ∴ x-2 NB = 2 6-x ， ∴BN= (x-2)(6-x) 2 ， ∴S△DBN= 1 2 ?BN?BE， = 1 2 ? (x-2)(6-x) 2 ×4， 整理得：S=-x2+8x-12； 则S与x之间的函数关系式： S=x2-8x+12(0≤x≤2) S=-x2+8x-12(2＜x≤6) ， ①当0≤x≤2时，S=x2-8x+12=（x-4）2-4， 当x≤4时，S随x的增大而减小，即0≤x≤2， ②当2＜x≤6时，S=-x2+8x-12=-（x-4）2+4， 当x≥4时，S随x的增大而减小，即4≤x≤6， 综上所述：S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，0C=6，在OC上取点..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)