题文

如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：y=- 3 3 x+4与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移． （1）在平移过程中，得到△A1B1C1，此时顶点A1恰落在直线l上，写出A1点的坐标______； （2）继续向右平移，得到△A2B2C2，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标； （3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵等边三角形ABC的高为3， ∴A1点的纵坐标为3， ∵顶点A1恰落在直线l上， ∴3=- 3 3 x+4， 解得；x= 3 ， ∴A1点的坐标是（ 3 ，3）， 故答案为：（ 3 ，3）； （2）设P（x，y），连接A2P并延长交x轴于点H，连接B2P， 在等边三角△A2B2C2中，高A2H=3， ∴A2B2=2 3 ，HB2= 3 ， ∵点P是等边三角形A2B2C2的外心， ∴∠PB2H=30°， ∴PH=1，即y=1， 将y=1代入y=- 3 3 x+4， 解得：x=3 3 ． ∴P（3 3 ，1）； （3）∵点P是等边三角形A2B2C2的外心， ∴△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形， ∴点P满足的条件，由（2）得P（3 3 ，1）， 由（2）得，C2（4 3 ，0），点C2满足直线y=- 3 3 x+4的关系式， ∴点C2与点M重合， ∴∠PMB2=30°， 设点Q满足的条件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能构成等腰三角形， 此时QA2=QB2，B2Q=B2C2，A2Q=A2C2， 作QD⊥x轴与点D，连接QB2， ∵QB2=2 3 ，∠QB2D=2∠PMB2=60°， ∴QD=3， ∴Q（ 3 ，3）， 设点S满足的条件，△SA2B2，△C2B2S，△C2SA2是等腰三角形， 此时SA2=SB2，C2B2=C2S，C2A2=C2S， 作SF⊥x轴于点F， ∵SC2=2 3 ，∠SB2C2=∠PMB2=30°， ∴SF= 3 ， ∴S（4 3 -3， 3 ）， 设点R满足的条件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能构成等腰三角形， 此时RA2=RB2，C2B2=C2R，C2A2=C2R， 作RE⊥x轴于点E， ∵RC2=2 3 ，∠RC2E=∠PMB2=30°， ∴ER= 3 ， ∴R（4 3 +3，- 3 ）． 答：存在四个点，分别是P（3 3 ，1），Q（ 3 ，3），S（4 3 -3， 3 ），R．（4 3 +3，- 3 ）．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：y=-33x+4与x轴、y轴分别..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)