题文

已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒． （1）求直线AC的解析式； （2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似？ （3）若⊙P的半径为 8 5 ，⊙Q的半径为 3 2 ；当⊙P与对角线AC相切时，判断⊙Q与直线AC、BC的位置关系，并求出Q点坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，在平行四边形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3， 由面积法，得CD×OA=OC×AC，解得CD= 4×3 5 = 12 5 ， 在Rt△OCD中，由勾股定理得OD= OC2-CD2 = 16 5 ， ∴C（ 16 5 ， 12 5 ）， 又∵A（5，0）， ∴直线AC解析式为：y=- 4 3 x+ 20 3 ； （2）当0≤t≤2.5时，P在OA上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC与△PAQ不可能相似． 当t＞2.5时， ①若∠APQ=90°，则△APQ∽△OAC， 故 AQ AP = OC OA = 4 5 ， ∴ 2t-5 t = 4 5 ， ∴t= 25 6 ， ∵t＞2.5， ∴t= 25 6 符合条件． ②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC， 故 AQ AP = OC OA = 4 5 ， ∴ t 2t-5 = 4 5 ， ∴t= 20 3 ， ∵t＞2.5， ∴t= 20 3 符合条件． 综上可知，当t= 25 6 或 20 3 时，△OAC与△APQ相似． （3）⊙Q与直线AC、BC均相切． 如图，设⊙P与AC相切于点M，则PM∥OC， ∴ PM OC = PA OA ，即 8 5 ×5=PA×4， 解得PA=2，OP=5-2=3， P点运动时间为3÷2= 3 2 秒， 故Q点运动时间为 3 2 秒，此时AQ= 3 2 ， BQ=4- 3 2 = 5 2 ， 过Q点作QN⊥BC，垂足为N，则△BQN∽△BCA， QN QB = AC BC ，即 QN 5 2 = 3 5 ， 解得QN= 3 2 ， 则AQ=QN， ∵AC⊥AB， ∴⊙Q与直线AC、BC均相切． 此时，Q点坐标为（ 31 5 ， 9 10 ）．

据专家权威分析，试题“已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)