题文

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足 a+3 +(p+1)2=0． （1）求直线AP的解析式； （2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标； （3）如图2，点B（-2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；② AO-EF 2DP 的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）根据题意得，a+3=0，p+1=0， 解得a=-3，p=-1， ∴点A、P的坐标分别为A（0，-3）、P（-1，0）， 设直线AP的解析式为y=mx+n， 则 n=-3 -m+n=0 ， 解得 m=-3 n=-3 ， ∴直线AP的解析式为y=-3x-3； （2）根据题意，点Q的坐标为（1，0）， 设直线AQ的解析式为y=kx+c， 则 c=-3 k+c=0 ， 解得 k=3 c=-3 ， ∴直线AQ的解析式为y=3x-3， 设点S的坐标为（x，3x-3）， 则SR= (x-0)2+(3x-3-2)2 = x2+(3x-5)2 ， SA= (0-x)2+(-3-3x+3)2 = x2+9x2 ， ∵SR=SA， ∴ x2+(3x-5)2 = x2+9x2 ， 解得x= 5 6 ， ∴3x-3=3× 5 6 -3=- 1 2 ， ∴点S的坐标为S（ 5 6 ，- 1 2 ）， 设直线RS的解析式为y=ex+f， 则 f=2 5 6 e+f=- 1 2 ， 解得 e=-3 f=2 ， ∴直线RS的解析式为y=-3x+2； （3）∵点B（-2，b）， ∴点P为AB的中点， 连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴PC=PA= 1 2 AB，PC⊥AP， ∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°， ∴∠CPG=∠PAO， 在△APO与△PCG中， ∠CPG=∠PAO ∠AOP=∠PGC=90° PC=AP ， ∴△APO≌△PCG（AAS）， ∴PG=AO=3，CG=PO， ∵△DCE是等腰直角三角形， ∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°， 又∵EF⊥x轴， ∴∠DEF+∠EDF=90°， ∴∠CDG=∠DEF， 在△CDG与△EDF中， ∠CDG=∠DEF ∠EFD=∠CGD=90° CD=DE ， ∴△CDG≌△EDF（AAS）， ∴DG=EF， ∴DP=PG-DG=3-EF， ①2DP+EF=2（3-EF）+EF=6-EF， ∴2DP+EF的值随点P的变化而变化，不是定值， ② AO-EF 2DP = 3-EF 2(3-EF) = 1 2 ， AO-EF 2DP 的值与点D的变化无关，是定值 1 2 ．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)