题文

如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C向点C匀速运动，同时点Q从点D出发，以每秒 5 个单位的速度沿DA向点A匀速运动；设点P、Q运动时间为t（秒） （1）求点A的坐标； （2）求△PCQ的面积S（S≠0）与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）过点P作PH⊥AD于H，试求点P在运动的过程中t为何值时，tan∠PQH= 1 4 ？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵点C的坐标为（3，4）， ∴OC= 32+42 =5， 又∵四边形OABC为菱形， ∴OA=OC=5， ∴点A的坐标为（5，0）； （2）设直线AC的解析式为y=kx+b， 把A（5，0）和点C（3，4）分别代入得，5k+b=0，3k+b=4，解得k=-2，b=10， ∴OD=10， ∴AD= 102+52 =5 5 ， 延长BC交OD于M，则CM=3，OM=4， ∴DM=10-4=6， DC= 62+32 =3 5 ； ①当点P在线段AB上，Q在线段CD上， PA=2t，DQ= 5 t，CQ=3 5 - 5 t， 过点P作PH⊥AD于H，如图， ∵四边形OABC为菱形， ∴∠PAH=∠OAD， ∴Rt△PHA∽Rt△DOA， ∴PH：OD=AH：OA=PA：AD，即PH：10=AH：5=2t：5 5 ， ∴PH= 4 5 5 t，AH= 2 5 5 t， ∴S= 1 2 QC?PH= 1 2 ?（3 5 - 5 t）? 4 5 5 t=-2t2+6t（0＜t≤2.5） ②当点P在线段BC上，Q在线段CD上， PC=10-2t， 过点P作PH⊥AD于H，如图， 易证Rt△PCH∽Rt△DAO， ∴PH：OD=CH：OA=PC：AD，即PH：10=CH：5=（10-2t）：5 5 ， ∴PH=4 5 - 4 5 5 t，CH=2 5 - 2 5 5 t， ∴S= 1 2 PH?CQ= 1 2 ?（4 5 - 4 5 5 t）?（3 5 - 5 t）=2t2-16t+30（2.5＜t＜3）； ③当点P在线段BC上，Q在线段CA上， 过点P作PH⊥AD于H，如图， 由②知PH=4 5 - 4 5 5 t， ∴S= 1 2 PH?CQ= 1 2 ?（4 5 - 4 5 5 t）?（ 5 t-3 5 ）=-2t2+16t-30（3＜t＜5）； （3）当0＜t≤2.5， ∵PH= 4 5 5 t，AH= 2 5 5 t， ∴QH=5 5 - 5 t- 2 5 5 t=5 5 - 7 5 5 t， ∵tan∠PQH= 1 4 ， ∴PH：QH= 4 5 t 5 5 5 - 7 5 t 5 = 1 4 ，解得t= 25 23 ； 当2.5＜t＜3， ∵PH=4 5 - 4 5 5 t，CH=2 5 - 2 5 5 t， ∴QH=3 5 - 5 t+2 5 - 2 5 5 t=5 5 - 7 5 5 t， ∵tan∠PQH= 1 4 ， ∴PH：QH=（4 5 - 4 5 5 t）：（5 5 - 7 5 5 t）= 1 4 ，解得t= 55 9 （舍去）； 当3＜t＜5， ∵PH=4 5 - 4 5 5 t，CH=2 5 - 2 5 5 t， ∴QH= 5 t-3 5 -（2 5 - 2 5 5 t）= 7 5 5 t-5 5 ， ∵tan∠PQH= 1 4 ， ∴PH：QH=（4 5 - 4 5 5 t）：（ 7 5 5 t-5 5 ）= 1 4 ，解得t= 105 23 ； ∴点P在运动的过程中t为 25 23 或 105 23 时，tan∠PQH= 1 4 ．

据专家权威分析，试题“如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，4），点A在x轴..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)