题文

已知一次函数y=- 3 4 x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． （1）求点B的坐标； （2）求直线AE的表达式； （3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． （4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）对于y=- 3 4 x+6， 当x=0时，y=6；当y=0时，x=8， ∴OA=6，OB=8， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=10， 则A（0，6），B（8，0）； （2）过点E作EG⊥AB，垂足为G（如图1所示）， ∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG， ∴EG=OE， 在Rt△AOE和Rt△AGE中， AE=AE EO=EG ， ∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL）， ∴AG=AO， 设OE=EG=x，则有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4， 在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x， 根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2， 解得：x=3， ∴E（3，0）， 设直线AE的表达式为y=kx+b（k≠0）， 将A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得： b=6 3k+b=0 ， 解得： b=6 k=-2 ， 则直线AE的表达式为y=-2x+6； （3）延长BF交y轴于点K（如图2所示）， ∵AE平分∠BAO， ∴∠KAF=∠BAF， 又BF⊥AE， ∴∠AFK=∠AFB=90°， 在△AFK和△AFB中， ∵ ∠KAF=∠BAF AF=AF ∠AFK=∠AFB ， ∴△AFK≌△AFB， ∴FK=FB，即F为KB的中点， 又∵△BOK为直角三角形， ∴OF= 1 2 BK=BF， ∴△OFB为等腰三角形， 过点F作FH⊥OB，垂足为H（如图2所示）， ∵OF=BF，FH⊥OB， ∴OH=BH=4， ∴F点的横坐标为4， 设F（4，y），将F（4，y）代入y=-2x+6，得：y=-2， ∴FH=|-2|=2， 则S△OBF= 1 2 OB?FH= 1 2 ×8×2=8； （4）在Rt△AOE中，OE=x，OA=6， 根据勾股定理得：AE= OE2+OA2 = x2+36 ， 又BE=OB-OE=8-x，S△ABE= 1 2 AE?BF= 1 2 BE?AO（等积法）， ∴BF= BE?AO AE = 6(8-x) x2+36 （0＜x＜8），又BF=y， 则y= 6(8-x) x2+36 （0＜x＜8）．

据专家权威分析，试题“已知一次函数y=-34x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠B..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)