题文

平面直角坐标系内有两条直线l1、l2，直线l1的解析式为y=- 2 3 x+1，如果将坐标纸折叠，使直线l1与l2重合，此时点（-2，0）与点（0，2）也重合． （1）求直线l2的解析式； （2）设直线l1与l2相交于点M，问：是否存在这样的直线l：y=x+t，使得如果将坐标纸沿直线l折叠，点M恰好落在x轴上若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由； （3）设直线l2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，以点C（0， 2 3 ）为圆心，CA的长为半径作圆，过点B任作一条直线（不与y轴重合），与⊙C相交于D、E两点（点D在点E的下方） ①在如图所示的直角坐标系中画出图形； ②设OD=x，△BOD的面积为S1，△BEC的面积为S2， S1 S2 =y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵将坐标纸折叠，使直线l1与l2重合，此时点（-2，0）与点（0，2）也重合． ∴折痕是直线y=-x， ∵直线l1的解析式为y=- 2 3 x+1， ∴该直线与x轴交于点（ 3 2 ，0），与y轴交于点（0，1）， ∴l2点（0，- 3 2 ），（-1，0）， 设l2解析式为y=kx- 3 2 ， 则有0=-k- 3 2 ，即k=- 3 2 ， ∴l2的解析式为y=- 3 2 x- 3 2 ； （2）因为直线l1与l2相交于点M， ∴ y=- 2 3 x+1 y=- 3 2 x- 3 2 ， ∴ x=-3 y=3 ，即M（-3，3）， ∵将坐标纸沿直线l折叠，点M恰好落在x轴上， ∴设M的对应点为N（a，0），则l：y=x+t过MN的中点F（ a-3 2 ， 3 2 ）， ∴ 3 2 = a-3 2 +t，即a=6-2t， ∵y=x+t，与x轴交于E（-t，0），ME=NE， ∴（-3+t）2+32=（a+t）2， ∴t=3，即l的解析式为y=x+3； （3）∵直线l2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B， ∴A（-1，0），B（0，- 3 2 ）， ∵以点C（0， 2 3 ）为圆心，CA的长为半径作圆，过点B任作一条直线（不与y轴重合），与⊙C相交于D、E两点（点D在点E的下方）， ∴OA=1，OB=1.5，OC= 2 3 ， 连接CA， ∵AO2=OC?OB，即 OA OC = OB OA ， ∵∠AOC=∠AOB=90°， ∴△AOC∽△BOA， ∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°， ∵CA是半径， ∴BA是⊙C的切线， ∴BA2=BD?BE， ∵在直角三角形AOB中，AB2=OA2+0B2=1+ 9 4 = 13 4 ， ∴BE= 13 4BD ， 设D（a，b），∠DBO=α， 则S1= 1 2 OB?|a|，S2= 1 2 BC?BE?sinα= 1 2 BC?BE? 1 BD ?|a|， ∴y= OB?BD BC?BE ， ∵OB= 3 2 ，BC= 3 2 + 2 3 = 13 6 ， ∴y= 3 2 BD 13 6 ? 13 4BD = 36 169 BD2， ∵BD2=DQ2+QB2=（ 3 2 +b）2+a2，a2+b2=x2， ∴BD2= 9 4 +x2+3b， ∵CD2=CQ2+DQ2， ∴1+ 4 9 =a2+（ 2 3 -b）2， ∴b= 3 4 （x2-1）， ∴y= 36 169 （ 9 4 +x2+ 9 4 x2- 9 4 ）， 即y= 9 13 x2．（x＞0）

据专家权威分析，试题“平面直角坐标系内有两条直线l1、l2，直线l1的解析式为y=-23x+1，..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)