题文

如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=- 1 2 x+b交折线OAB于点E． （1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，DE= 5 ，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1）， ∴B（3，1）， 若直线经过点A（3，0）时，则b= 3 2 ； 若直线经过点B（3，1）时，则b= 5 2 ； 若直线经过点C（0，1）时，则b=1． ①如图1，若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤ 3 2 ， 此时E（2b，0） ∴S= 1 2 OE?CO= 1 2 ×2b×1=b； ②如图2，若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 3 2 ＜b＜ 5 2 ， 此时E（3，b- 3 2 ），D（2b-2，1）， ∴S=S矩-（S△OCD+S△OAE+S△DBE） =3-[ 1 2 （2b-2）×1+ 1 2 ×（5-2b）?（ 5 2 -b）+ 1 2 ×3（b- 3 2 ）] = 5 2 b-b2， 综上所述，S= b(1＜b≤ 3 2 ) 5 2 b-b2( 3 2 ＜b＜ 5 2 ) ； （2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积． 由题意知，DM∥NE，DN∥ME， ∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED=∠NED 又∵∠MDE=∠NED， ∴∠MED=∠MDE， ∴MD=ME， ∴平行四边形DNEM为菱形． 过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a， 由题意知，D（2b-2，1），E（2b，0）， ∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2， ∴HN=HE-NE=2-a， 则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2-a）2+12， ∴a= 5 4 ， ∴S四边形DNEM=NE?DH= 5 4 ． ∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 5 4 ．

据专家权威分析，试题“如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)