题文

如图，已知在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD，AB∥CD，AD=CD，∠ABC=90°，A、B在x轴上，点D在y轴上，若tan∠OAD= 4 3 ，B点的坐标为（5，0）． （1）求直线AC的解析式； （2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向点A运动，点P沿线段AB向点B运动，Q点的速度为每秒 5 个单位长度，P点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过P点作PQ的垂线交直线CD于点M，在P、Q运动的过程中，是否在平面内有一点N，使四边形QPMN为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵tan∠OAD= 4 3 ，且tan∠OAD= DO AO ， ∴ DO AO = 4 3 ． 设DO=4x，AO=3x，在Rt△AOD中，由勾股定理得： AD=4x． ∵AD=CD， ∴CD=5x， ∵AB∥CD，∠ABC=90°， ∴∠DOB=∠ODC=∠DCB=90°， ∴四边形OBCD是矩形， ∴OB=CD=5x． ∵B（5，0）， ∴OB=5， ∴5x=5， ∴x=1， ∴AO=3，DO=4， ∴A（-3，0），C（5，4）． 设直线AC的解析式为，y=kx+b，由题意得 0=-3k+b 4=5k+b ， 解得： k= 1 2 b= 3 2 ． 故直线AC的解析式为：y= 1 2 x+ 3 2 ． （2）∵当x=0时，y= 3 2 ， ∴E（0， 3 2 ）， ∴OE= 3 2 ， ∴DE= 5 2 ． 在Rt△CDE和Rt△AOE中由勾股定理得： CE= 5 5 2 ，AE= 3 5 2 ， ∴AC=4 5 ． ∵OA=3，OB=5， ∴AB=8， ∵BC=4， ∴tan∠BAC= 1 2 ，sin∠BAC= 5 5 ， ∴当0＜t＜ 5 2 时，S= 2t(4 5 - 5 t) 5 5 2 - 2t× 3 2 2 ，=-t2+ 5 2 t； 当 5 2 ＜t≤4时，S= 2t× 3 2 2 - 2t(4 5 - 5 t) 5 5 2 =t2- 5 2 t； 综上所述， ∴S= -t2+ 5 2 t(0＜t＜ 5 2 ) t2- 5 2 t( 5 2 ＜t≤4) ； （3）①如图1，作NH⊥CD与H，MG⊥AB与G，QR⊥AB与R， ∴∠MHN=∠MGP=∠PRQ=90°， ∵四边形QPMN为正方形， ∴MP=MN=PQ，∠NMP=∠MPQ=90°， ∴∠NMH=∠GMP=∠QPR， ∵在△MHN和△PRQ中， ∠MHN=∠PRQ ∠NMH=∠QPR MN=QP ， ∴△MHN≌△PRQ（AAS）． ∴NH=QR． 在△GMP和△RPQ中， ∠MGP=∠PRQ ∠GMP=∠QPR MP=PQ ∴△GMP≌△RPQ（AAS）， ∴GM=RP．GP=QR． ∵GM=OD=4cm， ∴RP=4cm． ∵ AR 4 5 - 5 t = 4 5 8 ， ∴AR=8-2t， ∴PR=8-2t-2t=4， ∴t=1， ∴AR=6，AP=2， ∴PO=1， ∵ QR AR = 1 2 ∴QR=3， ∴GO=4， ∴HN=3，MH=4，． ∴H、O在同一直线上， ∴N（0，7） ②如图2，作NS⊥CD于S，QH⊥AB于H，MR⊥AB于R， ∴∠NSM=∠QHP=∠PRM=90°， ∵四边形PQNM是正方形， ∴∠QPM=∠PMN=90°，PQ=PM=MN， ∴∠HPQ=∠PMR=∠NMS， ∴同①可以得出△NSM≌△QHP≌△PRM， ∴NS=QH=PR，HP=MR=SM=4， ∵ AH AQ = 8 4 5 ， ∴ AH 4 5 - 5 t = 8 4 5 ， ∴AH=8-2t， ∴2t-（8-2t）=4， ∴t=3， ∴AH=2，HO=1， ∴QH=SN=1，OR=4， ∴SM=OR， ∴S在y轴上， ∴N（0，5） 综上所述，N点的坐标为：（0，7）或（0，5）

据专家权威分析，试题“如图，已知在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD，AB∥CD，AD=CD，∠A..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)