题文

如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=- 1 2 x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．

题型：解答题  难度：中档

答案

存在． 方法一：当x=t时，y=x=t； 当x=t时，y=- 1 2 x+2=- 1 2 t+2． ∴E点坐标为（t，- 1 2 t+2），D点坐标为（t，t）．（2分） ∵E在D的上方， ∴DE=- 1 2 t+2-t=- 3 2 t+2，且t＜ 4 3 ．（3分） ∵△PDE为等腰直角三角形， ∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分） 若t＞0，PE=DE时，- 3 2 t+2=t， ∴t= 4 5 ，- 1 2 t+2= 8 5 ， ∴P点坐标为（0， 8 5 ）．（5分） 若t＞0，PD=DE时，- 3 2 t+2=t， ∴t= 4 5 ， ∴P点坐标为（0， 4 5 ）．（6分） 若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边， ∴- 3 2 t+2=2t（7分） ∴t= 4 7 ，DE的中点坐标为（t， 1 4 t+1）， ∴P点坐标为（0， 8 7 ）．（8分） 若t＜0，PE=DE和PD=DE时，由已知得DE=-t，- 3 2 t+2=-t，t=4＞0（不符合题意，舍去）， 此时直线x=t不存在．（10分） 若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，由已知得DE=-2t，- 3 2 t+2=-2t，（11分） ∴t=-4， 1 4 t+1=0， ∴P点坐标为（0，0）．（12分） 综上所述：当t= 4 5 时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0， 8 5 ）或（0， 4 5 ）； 当t= 4 7 时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0， 8 7 ）； 当t=-4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）． 方法二：设直线y=- 1 2 x+2交y轴于点A，交直线y=x于点B，过B点作BM垂直于y轴，垂足为M，交DE于点N． ∵x=t平行于y轴， ∴MN=|t|．（1分） ∵ y=x y=- 1 2 x+2 ， 解得x= 4 3 ，y= 4 3 ， ∴B点坐标为（ 4 3 ， 4 3 ）， ∴BM= 4 3 ， 当x=0时，y=- 1 2 x+2=2， ∴A点坐标为（0，2）， ∴OA=2．（3分） ∵△PDE为等腰直角三角形， ∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分） 如图，若t＞0，PE=DE和PD=DE时， ∴PE=t，PD=t， ∵DE∥OA， ∴△BDE∽△BOA， ∴ DE OA = BN BM ．（5分） ∴ t 2 = 4 3 -t 4 3 ， ∴t= 4 5 当t= 4 5 时，y=- 1 2 x+2= 8 5 ，y=x= 4 5 ∴P点坐标为（0， 8 5 ）或（0， 4 5 ）．（6分） 若t＞0，PD=PE时，即DE为斜边， ∴DE=2MN=2t． ∵DE∥OA， ∴△BDE∽△BOA， ∴ DE OA = BN BM （7分） ∴ 2MN 2 = 4 3 -MN 4 3 ， ∴MN=t= 4 7 ，DE中点的纵坐标为 1 4 t+1= 8 7 ， ∴P点坐标为（0， 8 7 ）（8分） 如图， 若t＜0，PE=DE或PD=DE时， ∵DE∥OA， ∴△BDE∽△BOA， ∴ DE OA = BN BM （9分） DE=-4（不符合题意，舍去），此时直线x=t不存在．（10分） 若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边， ∴DE=2MN=-2t， ∵DE∥OA， ∴△BDE∽△BOA， ∴ DE OA = BN BM （11分） ∴ 2MN 2 = 4 3 +MN 4 3 ， ∴MN=4， ∴t=-4， 1 4 t+1=0， ∴P点坐标为（0，0）．（12分） 综上述所述：当t= 4 5 时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0， 8 5 ）或（0， 4 5 ）； 当t= 4 7 时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0， 8 7 ）；当t=-4时， △PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．

据专家权威分析，试题“如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)