题文

已知矩形ABCD的面积为ab+a+b+1， （1）分解因式 ab+a+b+1； （2）请你画出矩形ABCD，用图形解释ab+a+b+1和分解后式子的意义。

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）原式=a(b+1)+(b+1)=(a+1)(b+1) ； （2）式子(a+1)(b+1)可看作边长分别为(a+1)，(b+1)的一个大矩形面积， 式子ab+a+b+1可看作边长分别为a、b，1、a，a、b，的三个矩形和边长为1的正方形的面积和。

据专家权威分析，试题“已知矩形ABCD的面积为ab+a+b+1，（1）分解因式ab+a+b+1；（2）请你画..”主要考查你对  因式分解，矩形，矩形的性质，矩形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

因式分解矩形，矩形的性质，矩形的判定

考点名称：因式分解

• 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
  它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

• 因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。
  注意四原则：
  1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
  2．最后结果只有小括号
  3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：）不一定首项一定为正。
  
  

• 因式分解中的四个注意：
  ①首项有负常提负，
  ②各项有“公”先提“公”，
  ③某项提出莫漏1，
  ④括号里面分到“底”。
  现举下例，可供参考。
  例：
  把-a²-b²+2ab+4分解因式。
  解：-a²-b²+2ab+4
  =-(a²-2ab+b²-4）
  =-[(a-b)²-4]
  =-(a-b+2)(a-b-2)
  这里的“负”，指“负号”。
  如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的;

  这里的“公”指“公因式”。
  如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

  这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

  分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。
  其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
  在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！
  由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。

• 分解步骤：
  ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
  ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
  ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
  ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
  也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”

  分解因式技巧掌握：
  ①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式
  ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
  ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
  ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
  注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

  主要方法：
  1.提取公因式法：
  如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
  提公因式法基本步骤：
  （1）找出公因式
  （2）提公因式并确定另一个因式：
  ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
  ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式
  ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
  
  2.公式法：
  把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来，得到因式分解的公式：
  平方差公式：a²-b²=（a+b）·（a-b）；
  完全平方式：a²±2ab+b²=（a±b）²；
  立方差公式：。
  
  3.分组分解法：
  利用分组分解因式的方法叫做分组分解法，ac+ad+bc+bd=a·（c+d）+b·（c+d）=（a+b）·（c+d）
  其原则：
  ①连续提取公因式法：分组后每组能够分解因式，每组分解因式后，组与组之间又有公因式可提。
  ②分组后直接运用公式法：分组后各组内可以直接应用公式，各组分解因式后，使组与组之间构成公式的形式，然后用公式法分解因式。
  
  4.十字相乘法：a²+（p+q）·a+p·q=（a+p）·（a+q）。
  
  5.解方程法:
  通过解方程来进行因式分解，如
  x²+2x+1=0 ,解，得x₁=-1，x₂=-1，就得到原式=（x+1）×（x+1）
  
  6.待定系数法:
  首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
  例:
  分解因式x -x -5x -6x-4
  分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
  解：
  设x -x -5x -6x-4
  =(x +ax+b)(x +cx+d)
  = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
  所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4
  则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

• 矩形:
  是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

• 矩形的性质：
  1．矩形的4个内角都是直角；
  2．矩形的对角线相等且互相平分；
  3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
  4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
  5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
  6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

• 矩形的判定：
  ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
  ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
  ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
  ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
  矩形的面积：S_矩形=长×宽=ab。

• 黄金矩形:
  宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
  黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。