题文

若 x y = 3 5 ，则 2x-y y =______，分解因式：a2b-2ab+b=______．

题型：填空题  难度：中档

答案

∵ x y = 3 5 ， ∴x= 3 5 y， ∴ 2x-y y = 2? 3 5 y-y y = 1 5 y y = 1 5 ， a2b-2ab+b=b（a2-2a+1）=b（a-1）2， 故答案为： 1 5 ，b（a-1）2．

据专家权威分析，试题“若xy=35，则2x-yy=______，分解因式：a2b-2ab+b=______．-数学-魔方..”主要考查你对  因式分解，比例的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

因式分解比例的性质

考点名称：因式分解

• 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
  它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

• 因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。
  注意四原则：
  1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
  2．最后结果只有小括号
  3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：）不一定首项一定为正。
  
  

• 因式分解中的四个注意：
  ①首项有负常提负，
  ②各项有“公”先提“公”，
  ③某项提出莫漏1，
  ④括号里面分到“底”。
  现举下例，可供参考。
  例：
  把-a²-b²+2ab+4分解因式。
  解：-a²-b²+2ab+4
  =-(a²-2ab+b²-4）
  =-[(a-b)²-4]
  =-(a-b+2)(a-b-2)
  这里的“负”，指“负号”。
  如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的;

  这里的“公”指“公因式”。
  如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

  这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

  分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。
  其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
  在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！
  由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。

• 分解步骤：
  ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
  ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
  ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
  ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
  也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”

  分解因式技巧掌握：
  ①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式
  ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
  ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
  ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
  注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

  主要方法：
  1.提取公因式法：
  如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
  提公因式法基本步骤：
  （1）找出公因式
  （2）提公因式并确定另一个因式：
  ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
  ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式
  ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
  
  2.公式法：
  把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来，得到因式分解的公式：
  平方差公式：a²-b²=（a+b）·（a-b）；
  完全平方式：a²±2ab+b²=（a±b）²；
  立方差公式：。
  
  3.分组分解法：
  利用分组分解因式的方法叫做分组分解法，ac+ad+bc+bd=a·（c+d）+b·（c+d）=（a+b）·（c+d）
  其原则：
  ①连续提取公因式法：分组后每组能够分解因式，每组分解因式后，组与组之间又有公因式可提。
  ②分组后直接运用公式法：分组后各组内可以直接应用公式，各组分解因式后，使组与组之间构成公式的形式，然后用公式法分解因式。
  
  4.十字相乘法：a²+（p+q）·a+p·q=（a+p）·（a+q）。
  
  5.解方程法:
  通过解方程来进行因式分解，如
  x²+2x+1=0 ,解，得x₁=-1，x₂=-1，就得到原式=（x+1）×（x+1）
  
  6.待定系数法:
  首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
  例:
  分解因式x -x -5x -6x-4
  分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
  解：
  设x -x -5x -6x-4
  =(x +ax+b)(x +cx+d)
  = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
  所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4
  则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

考点名称：比例的性质

• 比例：
  在数学中，比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。要想判断两个比式子能不能组成比例，要看它们的比例是不是相等。
  比例性质：
  比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
  在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。，则有。
  证明：
  
  
  
  
  2.分比性质：
  在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。
  例：已知a，b，c，d∈C，且有b≠0，d≠0，如果，则有。
  证明：
  
  
  
  
  3.合分比性质：
  在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。
  例：已知a，b，c，d∈C，且有b≠0，d≠0，如果，则有。
  证明：
  
  令，则，
  
  
  
  
  4.等比性质：
  在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等。
  例：已知a，b，c，d∈C，且有b≠0，d≠0，如果，则有。
  证明：
  
  令，则
  
  

• 重要定理:
  
  
  比例尺:
  是表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺。
  用公式表示为：比例尺=图上距离/实地距离。
  1.数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。
  例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1∶50，000，000或写成：1/50，000，000。
  2.线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
  3.文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，
  如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一。
  
  比例线段：
  1.两条线段的长度比叫做这两条线段的比。
  2.在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a∶b=c∶d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
  3.一般的，如果三个数a，b，c满足比例式a∶b=b∶c，则b就叫做a，c的比例中项。

• 比例的美术术语：
  比例通常指物体之间形的大小、宽窄、高低的关系；另外比例也会在构图中用到，例如你在画一幅素描静物就要注意所有静物占用画面的大小关系。
  在画素描的过程中要想把形画准就要注意比例了。
  
  把握比例的几个技巧：
  1.横着比：当你要画某一个物体的位置时就以此做一条贯穿整个画面的横线，看到所有在这条线上的物体。
  2.竖着比：做一条贯穿画面的垂线，注意观察所有在这条线上的物体。
  3.多看物体、少看画面：为的是形成观察的意识，抛弃大脑中的原始概念。看物体5秒，看画面2秒，眼睛要在画面和物体之间反复的观察比较。
  4.总的说就是放长线、看整体、多比较。把这些想象成经线纬线一样会比较简单；初学者要多画辅助线，等功底深厚了你会发现你画面中的辅助线会越来越少，而你心里假象的辅助线会越来越多。
  
  在构图中要注意的比例关系技巧：一般被画物占画面百分之八十左右，看上去饱满。
  人物相关比例：
  1.三庭五眼：发际线-鼻底-下巴为三庭，这三段之间每段的距离大约相等；耳根-外眼角-内眼角-内眼角-外眼角-耳根为五眼，它们之间距离大约相等。
  2.站七坐五蹲三半：一个站着的成年人身高大约等于他七个头长（站七），当他座上时就等于五个头长（坐五），蹲着时刚好是三个半头长（三头）。
  3.小孩的头部比例较大，站着时一般为三到四个头高。
  4.张开双臂，两个中指之间的长度大约等于这个人的身高。
  5.手臂的长度为两个头长（腋窝-胳膊肘-手腕各位为一个头长）。
  6.手掌为三分之二头长。
  7.当举起胳膊时胳膊肘刚好到头顶。
  8.肩宽为两个头宽。
  9.脚掌为一个头长。
  10.男人肩比胯宽，而女人跨比肩宽。
  还有很多，可以在生活中多总结，多观察。这些都是标准人体比例，可以帮助初学者入门；
  也是艺术家创作英雄楷模人物绘画雕塑等艺术作品时的指导，例如米开朗基罗的大卫是七个半头高。在现实生活中有形形色色的人，在进行人物素描时就应当个别观察，抓住特征。