(1)比较下列两个算式的结果的大小(在横线上选填“>”“=”或“<”)①32+42______2×3×4;②(13)2+(14)2______2×13×14;③(-2)2+(-3)2______2×(-2)×(-3);④(-13)2+(-15)2______2×(-13)×-数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 完全平方公式/2019-04-04 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

(1)比较下列两个算式的结果的大小(在横线上选填“>”“=”或“<”)
①32+42______2×3×4;      
②(
1
3
)2+(
1
4
)2______2×
1
3
×
1
4

③(-2)2+(-3)2______2×(-2)×(-3);
④(-
1
3
)2+(-
1
5
)2______2×(-
1
3
)×(-
1
5
)
⑤(-4)2+(-4)2______2×(-4)×(-4)…
(2)观察并归纳(1)中的规律,用含a,b的一个关系式把你的发现表示出来.
(3)若已知ab=8,且a,b都是正数,试求
1
2
a2+
1
2
b2的最小值.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)①∵32+42=25,2×3×4=24,
∴32+42>2×3×4;
②∵(
1
3
2+(
1
4
2=
25
144
,2×
1
3
×
1
4
=
24
144

∴(
1
3
2+(
1
4
2>2×
1
3
×
1
4

③∵(-2)2+(-3)2=4+9=13,2×(-2)×(-3)=12,
∴(-2)2+(-3)2>2×(-2)×(-3);
④∵(-
1
3
2+(-
1
5
2=
34
225
,2×(-
1
3
)×(-
1
5
)=
30
225

∴(-
1
3
2+(-
1
5
2>2×(-
1
3
)×(-
1
5
);
⑤∵(-4)2+(-4)2=32,2×(-4)×(-4)=32,
∴(-4)2+(-4)2=2×(-4)×(-4);
故答案为:①>,②>,③>,④>,⑤=;

(2)观察(1)中的计算可发现规律:a2+b2≥2ab;

(3)∵a2+b2的最小值是2ab,
1
2
a2+
1
2
b2=
1
2
(a2+b2)=
1
2
×2ab=8.

据专家权威分析,试题“(1)比较下列两个算式的结果的大小(在横线上选填“>”“=”或“<”)①32+..”主要考查你对  完全平方公式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

完全平方公式

考点名称:完全平方公式

  • 完全平方公式:
    两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。
    (a+b)2=a2+2ab+b2
    (a-b)2=a2-2ab+b2

    (1)公式中的a、b可以是单项式,也就可以是多项式。
    (2)不能直接应用公式的,要善于转化变形,运用公式。
    该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

  • 结构特征:
    1.左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上或减去这两项乘积的2倍;
    2.左边两项符号相同时,右边各项全用“+”号连接;
    左边两项符号相反时,右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注:这里说项时未包括其符号在内);
    3..公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等数学式.

    记忆口诀:首平方,尾平方,2倍首尾。

  • 使用误解:
    ①漏下了一次项;
    ②混淆公式;
    ③运算结果中符号错误;
    ④变式应用难于掌握。

    注意事项:
    1、左边是一个二项式的完全平方。
    2、右边是二项平方和,加上(或减去)这两项乘积的二倍,a和b可是数,单项式,多项式。
    3、不论是还是,最后一项都是加号,不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

  • 完全平方公式的基本变形:
    (一)、变符号
    例:运用完全平方公式计算:
    (1)(-4x+3y)2
    (2)(-a-b)2
    分析:本例改变了公式中a、b的符号,以第二小题为例,处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a,将(-b)看成原来公式中的b,即可直接套用公式计算。
    解答:
    (1)16x2-24xy+9y2
    (2)a2+2ab+b2

    (二)、变项数:
    例:计算:(3a+2b+c)2
    分析:完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘,而本例中出现了三项,故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项,从而化解矛盾。所以在运用公式时,(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2,直接套用公式计算。
    解答:9a2+12ab+6ac+4b2+4bc+c2

    (三)、变结构
    例:运用公式计算:
    (1)(x+y)(2x+2y)
    (2)(a+b)(-a-b)
    (3)(a-b)(b-a)
    分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式,表面看外观结构不符合公式特征,但仔细观察易发现,只要将其中一个因式作适当变形就可以了,即
    (1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)2
    (2) (a+b)(-a-b)=-(a+b)2
    (3) (a-b)(b-a)=-(a-b)2