题文

已知：对于实数a，只有一个实数值x满足等式，试求所有这样的实数a的和．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得， （x+1）2+（x﹣1）2+2x+a+2=0，整理得，2x2+2x+a+4=0， ①△=b2﹣4ac=22﹣4×2×（a+4）=﹣8a﹣28， （1）当方程①有两个相等的实数根时，△=0，即﹣8a﹣28=0， 解得a1=﹣，此时方程①有一个根x=﹣，验证可知x=﹣的确满足题中的等式， （2）当方程①有两个不相等的实数根时，△＞0，即﹣8a﹣28＞0，解得a＜﹣， （i）若x=1是方程①的根，则原方程有增根x=1，代入①得，2+2+a+4=0，解得a2=﹣8，此时方程①的另一个根x=﹣2，它的确也满足题中的等式； （ii）若x=﹣1是方程①的根，则原方程有增根x=﹣1，代入①得，2﹣2+a+4=0，解得a3=﹣4，此时方程①的另一个根x=0，验证可知x=0的确满足题中的等式；因此a1=﹣，a2=﹣8，a3=﹣4即为所求，a1+a2+a3=﹣﹣8﹣4=﹣． 故答案为：﹣．

据专家权威分析，试题“已知：对于实数a，只有一个实数值x满足等式，试求所有这样的实数a..”主要考查你对  解分式方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

解分式方程

考点名称：解分式方程

• 解法：
  解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：
  （1）去分母：分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
  (最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）
  （2）解方程：解整式方程，得到方程的根；
  （3）验根：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；
  否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。
  如果分式本身约分了，也要带进去检验。
  在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
  一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
  注意：
  （1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
  （2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
  （3）増根使最简公分母等于0。
  
  分式方程的特殊解法：
  换元法：
  换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

• 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
  解分式方程注意：
  ①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程进一步求得分式方程的解；
  ②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项；
  ③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤。