在一次数学兴趣小组的活动课上,有下面的一段对话,请你阅读完后再解答问题.老师:同学们,今天我们来探索如下方程的解法:(xx-1)2-4(xx-1)+4=0.学生甲:老师,原方程可整理为x-数学

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题文

在一次数学兴趣小组的活动课上,有下面的一段对话,请你阅读完后再解答问题.
老师:同学们,今天我们来探索如下方程的解法:(
x
x-1
)2-4(
x
x-1
)+4=0.
学生甲:老师,原方程可整理为
x2
(x-1)2
-
4x
x-1
+4=0,再去分母,行得通吗?
老师:很好,当然可以这样做.
再仔细观察,看看这个方程有什么特点?还可以怎样解答?
学生乙:老师,我发现
x
x-1
是整体出现的!
老师:很好,我们把
x
x-1
看成一个整体,用y表示,即可设
x
x-1
=y,那么原方程就变为y2-4y+4=0.
全体学生:噢,等号左边是一个完全平方式?!方程可以变形成(y-2)2=0
老师:大家真会观察和思考,太棒了!显然y2-4y+4=0的根是y=2,那么就有
x
x-1
=2
学生丙:对啦,再解这两个方程,可得原方程的根x=2,再验根就可以了!
老师:同学们,通常我们把这种方法叫做换元法,这是一种重要的转化方法.
全体同学:OK,换元法真神奇!
现在,请你用换元法解下列分式方程(组):
(1)(
2x
x-1
)2-
4x
x-1
+1=0
(2)

6
x-y
+
4
x+y
=3
9
x-y
-
1
x+y
=1
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)设
2x
x-1
=y,则原方程变形为:y2-2y+1=0,即(y-1)2=0,
解得:y=1,即
2x
x-1
=1,即2x=x-1,
解得:x=-1,
经检验:x=-1是原方程的解;

(2)设
1
x-y
=u,
1
x+y
=v,
则原方程组化为:

6u+4v=3
9u-v=1

解得:

u=
1
6
v=
1
2
,即

1
x-y
=
1
6
1
x+y
=
1
2

整理得:

x+y=2
x-y=6

解得:

x=4
y=-2

经检验,

x=4
y=-2
是原方程组的解.

据专家权威分析,试题“在一次数学兴趣小组的活动课上,有下面的一段对话,请你阅读完后..”主要考查你对  解分式方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

解分式方程

考点名称:解分式方程

  • 解法:
    解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,其一般步骤是:
    (1)去分母:分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母,把分式方程转化为整式方程。
    (最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)
    (2)解方程:解整式方程,得到方程的根;
    (3)验根:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;
    否则,这个解不是原分式方程的解,是原分式方程的增根。
    如果分式本身约分了,也要带进去检验。
    在列分式方程解应用题时,不仅要检验所得解的是否满足方程式,还要检验是否符合题意。
    一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解.
    注意:
    (1)注意去分母时,不要漏乘整式项。
    (2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根。
    (3)増根使最简公分母等于0。

    分式方程的特殊解法:
    换元法:
    换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。

  • 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法。
    解分式方程注意:
    ①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,通过解整式方程进一步求得分式方程的解;
    ②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边,从而约去分母,但要注意用最简公分母乘方程两边各项时,切勿漏项;
    ③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况,那么检验就是解分式方程的必要步骤。