题文

在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题． 老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：( x x-1 )2-4( x x-1 )+4=0． 学生甲：老师，原方程可整理为 x2 (x-1)2 - 4x x-1 +4=0，再去分母，行得通吗？ 老师：很好，当然可以这样做． 再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？ 学生乙：老师，我发现 x x-1 是整体出现的！ 老师：很好，我们把 x x-1 看成一个整体，用y表示，即可设 x x-1 =y，那么原方程就变为y2-4y+4=0． 全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y-2）2=0 老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y2-4y+4=0的根是y=2，那么就有 x x-1 =2 学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x=2，再验根就可以了！ 老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法． 全体同学：OK，换元法真神奇！ 现在，请你用换元法解下列分式方程（组）： （1）( 2x x-1 )2- 4x x-1 +1=0 （2） 6 x-y + 4 x+y =3 9 x-y - 1 x+y =1 ．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设 2x x-1 =y，则原方程变形为：y2-2y+1=0，即（y-1）2=0， 解得：y=1，即 2x x-1 =1，即2x=x-1， 解得：x=-1， 经检验：x=-1是原方程的解； （2）设 1 x-y =u， 1 x+y =v， 则原方程组化为： 6u+4v=3 9u-v=1 ， 解得： u= 1 6 v= 1 2 ，即 1 x-y = 1 6 1 x+y = 1 2 ， 整理得： x+y=2 x-y=6 ， 解得： x=4 y=-2 ， 经检验， x=4 y=-2 是原方程组的解．

据专家权威分析，试题“在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后..”主要考查你对  解分式方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

解分式方程

考点名称：解分式方程

• 解法：
  解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：
  （1）去分母：分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
  (最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）
  （2）解方程：解整式方程，得到方程的根；
  （3）验根：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；
  否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。
  如果分式本身约分了，也要带进去检验。
  在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
  一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
  注意：
  （1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
  （2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
  （3）増根使最简公分母等于0。
  
  分式方程的特殊解法：
  换元法：
  换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

• 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
  解分式方程注意：
  ①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程进一步求得分式方程的解；
  ②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项；
  ③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤。