题文

阅读下列材料： 关于x的方程：x+ 1 x =c+ 1 c 的解是x1=c，x2= 1 c ；x- 1 x =c- 1 c （即x+ -1 x =c+ -1 c ）的解是x1=cx2=- 1 c ；x+ 2 x =c+ 2 c 的解是x1=c，x2= 2 c ；x+ 3 x =c+ 3 c 的解是x1=c，x2= 3 c ；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+ m x =c+ m c (m≠0)与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证． （2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论： 如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：x+ 2 x-1 =a+ 2 a-1 ．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）猜想x+ m x =c+ m c (m≠0)的解是x1=c，x2= m c ． 验证：当x=c时，方程左边=c+ m c ，方程右边=c+ m c ， ∴方程成立； 当x= m c 时，方程左边= m c +c，方程右边=c+ m c ， ∴方程成立； ∴x+ m x =c+ m c (m≠0)的解是x1=c，x2= m c ； （2）由x+ 2 x-1 =a+ 2 a-1 得x-1+ 2 x-1 =a-1+ 2 a-1 ， ∴x-1=a-1，x-1= 2 a-1 ， ∴x1=a，x2= a+1 a-1 ．

据专家权威分析，试题“阅读下列材料：关于x的方程：x+1x=c+1c的解是x1=c，x2=1c；x-1x=c-..”主要考查你对  解分式方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

解分式方程

考点名称：解分式方程

• 解法：
  解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：
  （1）去分母：分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
  (最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）
  （2）解方程：解整式方程，得到方程的根；
  （3）验根：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；
  否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。
  如果分式本身约分了，也要带进去检验。
  在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
  一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
  注意：
  （1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
  （2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
  （3）増根使最简公分母等于0。
  
  分式方程的特殊解法：
  换元法：
  换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

• 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
  解分式方程注意：
  ①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程进一步求得分式方程的解；
  ②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项；
  ③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤。