题文

在平面直角坐标系中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由； （2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）四边形OKPA是正方形． 证明： ∵⊙P分别与两坐标轴相切， ∴PA⊥OA，PK⊥OK， ∴∠PAO=∠OKP=90°， 又∵∠AOK=90°， ∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°， ∴四边形OKPA是矩形， 又∵OA=OK， ∴四边形OKPA是正方形； （2）解：连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为， 过点P作PG⊥BC于G， ∵四边形ABCP为菱形， ∴BC=PA=PB=PC（半径）， ∴△PBC为等边三角形， 在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=， sin∠PBG=，即=． 解得：x=±2（负值舍去）， ∴PG=3，PA=BC=2， 易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1， ∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3， ∴A（0，3），B（1，0）C（3，0）．

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为..”主要考查你对  反比例函数的图像，求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

反比例函数的图像求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：反比例函数的图像

• 反比例函数的图象：
  反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
  反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。

• 反比例函数图象的画法：
  （1）列表：
  
  （2）描点：在平面直角坐标系中标出点。
  （3）连线：用平滑的曲线连接点。
  当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。
  当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。
  常见画法当两个数相等时那么曲线呈弯月型。

• k的意义及应用：
  过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为。
  研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积
  所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
  
  推论内容：一次函数y=x+b或y=-x+b若与反比例函数存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x₁,x₂，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为

• 不同象限分比例函数图像：
  
  
  常见画法：
  

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。