题文

函数y= 4 x 和y= 1 x 在第一象限内的图象如图，点P是y= 4 x 的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y= 1 x 的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA= 1 3 AP．其中所有正确结论的序号是______．

题型：填空题  难度：中档

答案

①因点A和B都在反比例函数y= 1 x 的图象上，根据反比例函数k的几何意义可知，△ODB与△OCA的面积都等于 1 2 ，正确； ②由图的直观性可知，P点至上而下运动时，PB在逐渐增大，而PA在逐渐减小，错误； ③因△ODB与△OCA的面积都等于 1 2 ，它们面积之和始终等于1，而矩形OCPD面积始终等于4，所以四边形PAOB的面积始终等于3，即大小不会发生变化，正确； ④连接OP，△OPC面积始终等于2，△OCA的面积都等于 1 2 ，因它们同底（OC作底），所以它们面积的比等于高AC与PC的比，即AC：PC=1：4，所以CA= 1 3 AP，正确． 故正确结论的序号是①③④．

据专家权威分析，试题“函数y=4x和y=1x在第一象限内的图象如图，点P是y=4x的图象上一动点..”主要考查你对  反比例函数的图像，求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

反比例函数的图像求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：反比例函数的图像

• 反比例函数的图象：
  反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
  反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。

• 反比例函数图象的画法：
  （1）列表：
  
  （2）描点：在平面直角坐标系中标出点。
  （3）连线：用平滑的曲线连接点。
  当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。
  当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。
  常见画法当两个数相等时那么曲线呈弯月型。

• k的意义及应用：
  过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为。
  研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积
  所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
  
  推论内容：一次函数y=x+b或y=-x+b若与反比例函数存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x₁,x₂，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为

• 不同象限分比例函数图像：
  
  
  常见画法：
  

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。