题文

一次函数y=ax+b的图像分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数y=的图像相交于点A、B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C、E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交于点K，连接CD。

（1）若点A、B在反比例函数y=的图像的同一分支上，如图（a），试证明： ①S四边形AEDK=S四边形CFBK； ②AN=BM； （2）若点A，B分别在反比例函数y=的图像的不同分支上，如图（b），则AN与BM还相等吗？试证明你的结论。

题型：解答题  难度：偏难

答案

证明：（1）①∵AC⊥x轴，AE⊥y轴， ∴四边形AEOC为矩形， ∵BF⊥x轴，BD⊥y轴， ∴四边形BDOF为矩形， ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴四边形AEDK，四边形DOCK，四边形CFBK均为矩形， ∵OC=x1，AC=y1，x1·y1=k， ∴S矩形AEOC=OC·AC=x1·y1=k， ∵OF=x2，FB=y2，x2·y2=k， ∴S矩形BDOF=OF·FB=x2·y2=k， ∴S矩形AEOC=S矩形BDOF， ∵S矩形AEDK=S矩形AEOC-S矩形DOCK，S矩形CFBK=S矩形BDOF-S矩形DOCK， ∴S矩形AEDK=S矩形CFBK； ②由（1）知S矩形AEDK=S矩形CFBK， ∴AK·DK=BK·CK，即， ∵∠AKB=∠CKD=90°， ∴△AKB∽△CKD， ∴∠CDK=∠ABK， ∴AB//CD， ∵AC//y轴， ∴四边形ACDN是平行四边形， ∴AN=CD，同理BM=CD， ∴AN=BM； （2）AN与BM仍然相等； ∵S矩形AEDK=S矩形AEOC+S矩形ODKC，S矩形BKCF=S矩形BDOF+S矩形ODKC， 又∵S矩形AEOC=S矩形BDOF=k， ∴S矩形AEDK=S矩形BKCF， ∴AK·DK=BK·CK， ∴， ∵∠K=∠K， ∴△CDK∽△ABK， ∴∠CDK=∠ABK， ∴AB//CD， ∵AC//y轴， ∴四边形ANDC是平行四边形， ∴AN=CD，同理BM=CD， ∴AN=BM。

据专家权威分析，试题“一次函数y=ax+b的图像分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数y=..”主要考查你对  反比例函数的图像，矩形，矩形的性质，矩形的判定，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

反比例函数的图像矩形，矩形的性质，矩形的判定相似三角形的性质

考点名称：反比例函数的图像

• 反比例函数的图象：
  反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
  反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。

• 反比例函数图象的画法：
  （1）列表：
  
  （2）描点：在平面直角坐标系中标出点。
  （3）连线：用平滑的曲线连接点。
  当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。
  当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。
  常见画法当两个数相等时那么曲线呈弯月型。

• k的意义及应用：
  过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为。
  研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积
  所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
  
  推论内容：一次函数y=x+b或y=-x+b若与反比例函数存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x₁,x₂，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为

• 不同象限分比例函数图像：
  
  
  常见画法：
  

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

• 矩形:
  是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

• 矩形的性质：
  1．矩形的4个内角都是直角；
  2．矩形的对角线相等且互相平分；
  3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
  4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
  5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
  6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

• 矩形的判定：
  ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
  ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
  ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
  ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
  矩形的面积：S_矩形=长×宽=ab。

• 黄金矩形:
  宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
  黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。

考点名称：相似三角形的性质

• 相似三角形性质定理：
  (1)相似三角形的对应角相等。
  (2)相似三角形的对应边成比例。
  (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
  (4)相似三角形的周长比等于相似比。
  (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
  (6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
  (7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项
  (8)c/d=a/b 等同于ad=bc.
  (9)不必是在同一平面内的三角形里
  ①相似三角形对应角相等，对应边成比例.
  ②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
  ③相似三角形周长的比等于相似比

  定理推论：
  推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
  推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
  推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
  推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
  推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
  推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。