题文

某校九年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100个）为优秀．下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）： 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲班 100 98 110 89 103 500 乙班 89 100 95 119 97 500 经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考，来确定冠军奖．请你回答下列问题： （1）计算两班的优秀率； （2）写出两班比赛数据的中位数；并估算两个班的方差哪个大，直接写出结果； （3）根据以上三条信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）甲班的优秀率=3÷5×100%=60%，乙班的优秀率=2÷5×100%=40%； （2）甲班5名学生比赛成绩的中位数为100个，乙班5名学生成绩的中位数为97个，乙班方差大； （3）将冠军奖状发给甲班． 因为甲班5人比赛成绩的优秀率比乙班高、中位数比乙班大、方差比乙班小，综合评定甲班比较好．

据专家权威分析，试题“某校九年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总..”主要考查你对  中位数和众数，方差  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

中位数和众数方差

考点名称：中位数和众数

• 中位数：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间位置的两个数据的平均数）叫这组数据的中位数。
  众数：在一组数据中，出现次数最多的数据。

• 中位数的位置：
  当样本数为奇数时，中位数=(N+1)/2;当样本数为偶数时，中位数为N/2与1+N/2的均值
  
  众数性质：
  用众数代表一组数据，可靠性较差，不过，众数不受极端数据的影响，并且求法简便。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，选择中位数表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
  当数值或被观察者没有明显次序（常发生于非数值性资料）时特别有用，由于可能无法良好定义算术平均数和中位数。例子：{鸡、鸭、鱼、鱼、鸡、鱼}的众数是鱼。
  众数算出来是销售最常用的，代表最多的 
  众数是在一组数据中,出现次数最多的数据 
  两组数据中,都是1,2出现次数最多 
  所以1,2是众数 
  众数：
  一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数。
  例如：1，2，3，3，4的众数是3。 
  但是，如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众数。
  例如：1，2，2，3，3，4的众数是2和3。
  还有，如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数。
  例如：1，2，3，4，5没有众数。
  在高斯分布中，众数位于峰值。
  
  平均数、中位数和众数的特征：
  （1）平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平”的平均数。
  （2）平均数能充分利用数据提供的信息，在生活中较为常用，但它容易受极端数字的影响，且计算较繁。
  （3）中位数的优点是计算简单，受极端数字影响较小，但不能充分利用所有数字的信息。 中位数算出来可避免极端数据，代表着数据总体的中等情况。
  （4）众数的可靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”。

• 平均数、中位数和众数异同：
  一、相同点
  平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。
  
  二、不同点
  它们之间的区别，主要表现在以下方面。
  1、定义不同
  平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
  中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
  众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
  
  2、求法不同
  平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。
  中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。
  众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。
  
  3、个数不同
  在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。
  
  4、呈现不同
  平均数：是一个“虚拟”的数，是通过计算得到的，它不是数据中的原始数据。
  中位数：是一个不完全“虚拟”的数。当一组数据有奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等，此时的中位数就是一个虚拟的数。
  众  数：是一组数据中的原数据 ，它是真实存在的。
  
  5、代表不同
  平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。
  中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。
  众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。
  这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。
  
  6、特点不同
  平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。
  中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。
  众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。
  
  7、作用不同
  平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。
  中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。
  众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

• 中位数、众数的求法：
  中位数：
  ①将数据按大小顺序排列；
  ②当数据个数为奇数时，中间的那个数据就是中位数；
  当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数。
  
  众数：找出频数最多的数据，若几个数据频数最多且相同，此时众数就是这几个数据。

考点名称：方差

• 方差:
  是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。
  在概率论和数理统计中，方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
  在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。
  设有n个数据各数据x₁，x₂，…，x_n各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，…，，我们用它的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作。

• 方差特点:
  （1）设c是常数，则D(c)=0。
  （2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c²)D(X)。
  （3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则
  D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
  特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0（常见协方差），
  则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况。
  （4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。
  （5）D（aX+bY）=a^2DX+b^2DY+2abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。
  
  意义：
  在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
  
  标准差：
  方差的算术平均根，即，并把它叫做这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。

• 公式:
  方差是实际值与期望值之差平方的期望值，而标准差是方差算术平方根。 在实际计算中，我们用以下公式计算方差。
  方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即s^2=(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]，其中，x_表示样本的平均数，n表示样本的数量，^，xn表示个体，而s^2就表示方差。
  而当用(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]作为样本X的方差的估计时，发现其数学期望并不是X的方差，而是X方差的(n-1)/n倍，[1/(n-1)][(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]的数学期望才是X的方差，用它作为X的方差的估计具有“无偏性”，所以我们总是用[1/(n-1)]∑(xi-X~)^2来估计X的方差，并且把它叫做“样本方差”。
  方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S&sup2.在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
  
  方差分析主要用途：
  ①均数差别的显著性检验;
  ②分离各有关因素并估计其对总变异的作用;
  ③分析因素间的交互作用;
  ④方差齐性检验。