题文

甲、乙两名车工都加工要求尺寸是直径为10mm的零件．从他们所生产的零件中各抽取5件，测得直径如下（单位：mm）： 甲：10.05，10.02，9.97，9.95，10.01 乙：9.99，10.02，10.00，9.98，10.01 分别计算两组数据的标准差（精确到0.01），说明在尺寸符合规格方面，谁做得较好．

题型：填空题  难度：中档

答案

甲数据：10.05，10.02，9.97，9.95，10.01的平均数为： . x = 1 5 （10.05+10.02+9.97+9.95+10.01）=10； 甲的方差为 S 2甲 = 1 5 [（10.05-10）2+（10.02-10）2+（9.97-10）2+（9.95-10）2+（10.01-10）2]=0.00128； 故甲的标准差为： 0.00128 ≈0.04， 乙数据：9.99，10.02，10.00，9.98，10.01的平均数为： . x = 1 5 9.99+10.02+10.00+9.98+10.01）=10； 乙的方差为 S 2乙 = 1 5 [（9.99-10）2+（10.02-10）2+（10.00-10）2+（9.98-10）2+（10.01-10）2]=0.0002； 故乙的标准差为： 0.0002 ≈0.01， ∵0.04＞0.01 ∴乙做得较好．

据专家权威分析，试题“甲、乙两名车工都加工要求尺寸是直径为10mm的零件．从他们所生产的..”主要考查你对  方差  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

方差

考点名称：方差

• 方差:
  是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。
  在概率论和数理统计中，方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
  在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。
  设有n个数据各数据x₁，x₂，…，x_n各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，…，，我们用它的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作。

• 方差特点:
  （1）设c是常数，则D(c)=0。
  （2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c²)D(X)。
  （3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则
  D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
  特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0（常见协方差），
  则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况。
  （4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。
  （5）D（aX+bY）=a^2DX+b^2DY+2abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。
  
  意义：
  在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
  
  标准差：
  方差的算术平均根，即，并把它叫做这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。

• 公式:
  方差是实际值与期望值之差平方的期望值，而标准差是方差算术平方根。 在实际计算中，我们用以下公式计算方差。
  方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即s^2=(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]，其中，x_表示样本的平均数，n表示样本的数量，^，xn表示个体，而s^2就表示方差。
  而当用(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]作为样本X的方差的估计时，发现其数学期望并不是X的方差，而是X方差的(n-1)/n倍，[1/(n-1)][(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]的数学期望才是X的方差，用它作为X的方差的估计具有“无偏性”，所以我们总是用[1/(n-1)]∑(xi-X~)^2来估计X的方差，并且把它叫做“样本方差”。
  方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S&sup2.在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
  
  方差分析主要用途：
  ①均数差别的显著性检验;
  ②分离各有关因素并估计其对总变异的作用;
  ③分析因素间的交互作用;
  ④方差齐性检验。