题文

某次考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩如下表所示：单位：分）    A B  C  D  E  平均分  标准差  极差   英语  88 82  94  85  76  85   6 18   数学  71 72  69  68  70  70      （1）求这五位同学数学成绩的标准差和极差（结果可保留根号）； （2）为了比较同一学生不同学科考试成绩的好与差，可采用“标准分”进行比较，标准分大的成绩更好；已知：标准分=（个人成绩-平均分）÷成绩的标准差． 请通过计算说明A同学在这次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）方差= 1 5 [（71-70）2+（72-70）2+（69-70）2+（68-70）2+（70-70）2]=2 标准差为 2 ； 极差为4． （2）A的数学标准分=（71-70）÷ 2 = 2 2 ，英语标准分=（88-85）÷6= 1 2 ， 因为 2 2 ＞ 1 2 ，所以A的数学成绩更好．

据专家权威分析，试题“某次考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩如下表所示：..”主要考查你对  方差  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

方差

考点名称：方差

• 方差:
  是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。
  在概率论和数理统计中，方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
  在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。
  设有n个数据各数据x₁，x₂，…，x_n各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，…，，我们用它的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作。

• 方差特点:
  （1）设c是常数，则D(c)=0。
  （2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c²)D(X)。
  （3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则
  D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
  特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0（常见协方差），
  则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况。
  （4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。
  （5）D（aX+bY）=a^2DX+b^2DY+2abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。
  
  意义：
  在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
  
  标准差：
  方差的算术平均根，即，并把它叫做这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。

• 公式:
  方差是实际值与期望值之差平方的期望值，而标准差是方差算术平方根。 在实际计算中，我们用以下公式计算方差。
  方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即s^2=(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]，其中，x_表示样本的平均数，n表示样本的数量，^，xn表示个体，而s^2就表示方差。
  而当用(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]作为样本X的方差的估计时，发现其数学期望并不是X的方差，而是X方差的(n-1)/n倍，[1/(n-1)][(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]的数学期望才是X的方差，用它作为X的方差的估计具有“无偏性”，所以我们总是用[1/(n-1)]∑(xi-X~)^2来估计X的方差，并且把它叫做“样本方差”。
  方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S&sup2.在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
  
  方差分析主要用途：
  ①均数差别的显著性检验;
  ②分离各有关因素并估计其对总变异的作用;
  ③分析因素间的交互作用;
  ④方差齐性检验。