题文

如图，点M（m，n）在第一象限，且，过O、M两点作圆分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，C在弧AO上，BC交OM于D，且CO=CD． （1）求M点的坐标； （2）若∠BDM=60°，连AM，求的值； （3）过D作DH⊥AB于H，下列结论：①DH+AB的值不变；②DH+AB的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你作出正确判断并予以证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）∵， ∴ 解得，m=4， ∴n=4， ∴M点的坐标（4，4）； （2）∵AB是直径，∠BOM=∠MOA=45°， ∴等腰Rt△MAB，AM=AB， ∵∠BDM=60°， ∴∠ODC=60°， ∵CO=CD， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠BAO=∠BMO=60°， ∵∠BDM=60°， ∴△DBM是等边三角形， ∴OB=AB， ∴==； （3）由图可知：∵CO=CD，∠ODC=∠D0C， ∴∠ODC=45°+∠OBC，∠D0C=45°+∠AOC=45°+∠ABC， ∴∠OBC=∠ABC，D为△BOA内心， 过点D作DF⊥OA于点F，DE⊥BO于点E， ∴DH=DE=DF，BH=BE，AH=AF， ∠DEO=∠EOF=∠OFD=90°， ∴四边形EOFD是正方形， ∴BE+AF=BH+AF=AB， ∴OA+OB=OE+BE+OF+AF=DH+BE+DH+AF=2HD+AB， 过点M做MG⊥x轴，MN⊥y轴，垂足分别为G，N， 则MG=MN=8， ∴ON=OG=8， 又∵∠BAM=∠BOM=45°，∠ABM=∠MOA=45°， ∴∠ABM=∠BAM， ∴MB=MA， ∴△BMN≌△AMG， ∴BN=AG， ∴OB+OA=ON+BN+OA=ON+AG+OA=ON+OG=4+4=8， ∴2HD+AB=8， ∴HD+AB=4， 故①DH+AB的值不变．

据专家权威分析，试题“如图，点M（m，n）在第一象限，且，过O、M两点作圆分别与x轴正半轴..”主要考查你对  二次根式的定义，等边三角形，全等三角形的性质，正方形，正方形的性质，正方形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次根式的定义等边三角形全等三角形的性质正方形，正方形的性质，正方形的判定

考点名称：二次根式的定义

• 二次根式:
  我们把形如叫做二次根式。
  二次根式必须满足：
  含有二次根号“”；
  被开方数a必须是非负数。
  
  确定二次根式中被开方数的取值范围：
  要是二次根式有意义，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围。

• 二次根式性质：
  （1）a≥0 ； ≥0 （双重非负性 )；
  
  （2）；
  
  （3）
                              0(a=0);
  
  （4）；
  
  （5）。

• 二次根式判定：
  ①二次根式必须有二次根号，如，等；
  ②二次根式中，被开方数a可以是具体的一个数，也可以是代数式；
  ③二次根式定义中a≥0 是定义组成的一部分,不能省略;
  ④二次根式是一个非负数;
  ⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,(a≥0 )就表示a的算术平方根。
  
  二次根式的应用：
  主要体现在两个方面：
  （1）利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；
  （2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：全等三角形的性质

• 全等三角形：
  两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
  全等三角形的对应边相等，对应角相等。
  ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
  ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
  ③有公共边的，公共边一定是对应边;
  ④有公共角的，角一定是对应角;
  ⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。

• 全等三角形的性质：
  1.全等三角形的对应角相等。
  2.全等三角形的对应边相等。
  3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
  4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
  5.全等三角形的对应边上的中线相等。
  6.全等三角形面积相等。
  7.全等三角形周长相等。
  8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

•  

考点名称：正方形，正方形的性质，正方形的判定

• 正方形的定义：
  有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
  特殊的长方形。
  四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
  有一组邻边相等的矩形是正方形。
  有一个角为直角的菱形是正方形。
  对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。
  对角线相等的菱形是正方形。

• 正方形的性质：
  1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
  2、内角：四个角都是90°；
  3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
  4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；
  5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；
  6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
  正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
  7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；
  正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。
  8、正方形是特殊的长方形。

• 正方形的判定：
  判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
  1：对角线相等的菱形是正方形。
  2：有一个角为直角的菱形是正方形。
  3：对角线互相垂直的矩形是正方形。
  4：一组邻边相等的矩形是正方形。
  5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
  6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
  7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
  8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
  9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
  
  有关计算公式：
  若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则
  正方形面积计算公式：S =a×a（即a的2次方或a的平方），或S=对角线×对角线÷2；
  正方形周长计算公式: C=4a 。
  S_正方形=。（正方形边长为a，对角线长为b）