题文

下列命题错误的是（　　） A．若a＜1，则（a-1） 1 1-a =- 1-a B．若 (3-a)2 =a-3，则a≥3 C．依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形 D． 81 的算术平方根是9

题型：单选题  难度：偏易

答案

A、若a＜1，则（a-1） 1 1-a =-（1-a） 1 1-a =- 1 1-a ×(1-a)2 =- 1-a ，故此选项正确，不符合题意； B．若 (3-a)2 =a-3，根据二次根式的性质得出，a-3≥0，则a≥3，故此选项正确，不符合题意； C．根据菱形对角线互相垂直得出，依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故此选项正确，不符合题意； D．∵ 81 =9，∴9的算术平方根是3，故此选项错误，符合题意； 故选：D．

据专家权威分析，试题“下列命题错误的是（）A．若a＜1，则（a-1）11-a=-1-aB．若(3-a)2=a-3，则..”主要考查你对  二次根式的定义，算术平方根，三角形中位线定理，矩形，矩形的性质，矩形的判定，命题，定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次根式的定义算术平方根三角形中位线定理矩形，矩形的性质，矩形的判定命题，定理

考点名称：二次根式的定义

• 二次根式:
  我们把形如叫做二次根式。
  二次根式必须满足：
  含有二次根号“”；
  被开方数a必须是非负数。
  
  确定二次根式中被开方数的取值范围：
  要是二次根式有意义，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围。

• 二次根式性质：
  （1）a≥0 ； ≥0 （双重非负性 )；
  
  （2）；
  
  （3）
                              0(a=0);
  
  （4）；
  
  （5）。

• 二次根式判定：
  ①二次根式必须有二次根号，如，等；
  ②二次根式中，被开方数a可以是具体的一个数，也可以是代数式；
  ③二次根式定义中a≥0 是定义组成的一部分,不能省略;
  ④二次根式是一个非负数;
  ⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,(a≥0 )就表示a的算术平方根。
  
  二次根式的应用：
  主要体现在两个方面：
  （1）利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；
  （2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

考点名称：算术平方根

• 概念：
  若一个正数x的平方等于a，即x²=a，则这个正数x为a的算术平方根。
  规定：0的算术平方根是0。
  表示：a的算术平方根记为，读作“根号a”。
  注：只有非负数有算术平方根，而且只有一个算术平方根。
  

• 平方根和算术平方根的区别与联系：
  区别：
  （1）定义不同：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根；非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根。
  （2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；而一个正数的算术平方根只有一个。
  （3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为。
  （4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根一正一负，两数互为相反数。
  联系：
  （1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种，是正的平方根。
  （2）存在条件相同：只有非负数才有平方根和算术平方根。
  （3）0的平方根，算术平方根均为0。开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
  注：
  （1）平方和开平方的关系是互为逆运算；
  （2）乘方是求根的途径，开平方是一种运算，是求平方根的过程；
  （3）开方的方式是根号形式。

•  

• 电脑根号的打法：
  比较通用：
  左手按住换档键（Alt键）不放，接着依次按41420然后松开左手，根号√￣就出来了。
  运用Word的域命令在Word中根号：
  首先按住Ctrl+F9，出现{}后，在{}内输入EQ空格\r（开方次数，根号内的表达式），最后按住Shift+F9，就会生成你所要求的根式
  1.平方根
  一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。比如 9 的平方根是3，-3。而5的平方根是√5，-√5。规定，零的平方根是0。负数没有平方根。
  2.算术平方根是指一个正数的正的平方根。比如 9 的算术平方根是±3。而5的算术平方根是±√5。规定，零的算术平方根是0。
  算术平方根是定义在平方根基础上，因此负数没有算术平方根。
  3.实数a的算术平方根记作√￣a，其中a≥0，根据以上定义有√￣a≥0。

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

• 矩形:
  是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

• 矩形的性质：
  1．矩形的4个内角都是直角；
  2．矩形的对角线相等且互相平分；
  3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
  4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
  5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
  6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

• 矩形的判定：
  ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
  ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
  ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
  ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
  矩形的面积：S_矩形=长×宽=ab。

• 黄金矩形:
  宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
  黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。

考点名称：命题，定理

• 命题的概念：
  判断一件事情的语句，叫做命题。
  命题的概念包括两层含义：
  （1）命题必须是个完整的句子；
  （2）这个句子必须对某件事情做出判断。
  
  公理：
  人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
  
  定理：
  通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论的命题或公式，例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。
  一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。
  如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）。同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。
  在命题逻辑中，所有已证明的叙述都称为定理。
  
  经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理，用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

• 命题的分类：
  （按正确、错误与否分）分为真命题（正确的命题），假命题（错误的命题），
  所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
  所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

  四种命题：
  1．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
  2．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。
  3．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。
  
  相互关系：
  1．四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。
  2．四种命题的真假关系：
  ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
  ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假）

  定理结构：
  定理一般都有一个设定——一大堆条件。然后它有结论——一个在条件下成立的数学叙述。
  通常写作「若条件，则结论」。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。
  逆定理：
  若存在某叙述为A→B，其逆叙述就是B→A。逆叙述成立的情况是A←→B，否则通常都是倒果为因，不合常理。若某叙述是定理，其成立的逆叙述就是逆定理。
  若某叙述和其逆叙述都为真，条件必要且充足。 若某叙述为真，其逆叙述为假，条件充足。 若某叙述为假，其逆叙述为真，条件必要。

• 常用数学定理：
  1、每份数×份数=总数
  总数÷每份数=份数
  总数÷份数=每份数
  2、1倍数×倍数=几倍数
  几倍数÷1倍数=倍数
  几倍数÷倍数=1倍数
  3、速度×时间=路程
  路程÷速度=时间
  路程÷时间=速度
  4、单价×数量=总价
  总价÷单价=数量
  总价÷数量=单价
  5 、工作效率×工作时间=工作总量
  工作总量÷工作效率=工作时间
  工作总量÷工作时间=工作效率
  6 、加数+加数=和
  和－一个加数=另一个加数
  7 、被减数－减数=差
  被减数－差=减数
  差+减数=被减数
  8 、因数×因数=积
  积÷一个因数=另一个因数
  9、 被除数÷除数=商
  被除数÷商=除数
  商×除数=被除数

  小学数学图形计算公式：
  1 、正方形 C周长 S面积 a边长
  周长=边长×4 ；C=4a;
  面积=边长×边长； S=a×a
  2 、正方体 V:体积 a:棱长
  表面积=棱长×棱长×6； S棱=a×a×6 ；
  体积=棱长×棱长×棱长； V=a×a×a
  3、 长方形 C周长 S面积 a边长
  周长=(长+宽)×2 ；C=2(a+b) ；
  面积=长×宽 ；S=ab
  4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 c:高
  表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2； S=2(ab+bc+ca)；
  体积=长×宽×高 ；V=abc
  5、 三角形 s面积 a底 h高
  面积=底×高÷2 ；s=ah÷2
  三角形高=面积 ×2÷底
  三角形底=面积 ×2÷高
  6、 平行四边形 s面积 a底 h高
  面积=底×高 s=ah
  7、 梯形 s面积 a上底 b下底 h高
  面积=(上底+下底)×高÷2；s=(a+b)× h÷2
  8、 圆形 S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
  周长=直径×∏=2×∏×半径； C=∏d=2∏r ；
  面积=半径×半径×∏
  9、 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
  侧面积=底面周长×高；
  表面积=侧面积+底面积×2 ；
  体积=底面积×高 ；
  体积=侧面积÷2×半径
  10、 圆锥体 v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径
  体积=底面积×高÷3