描述统计是通过对由实验或观察、调查所得到的数据进行整理并计算其特征数，以描述数据的分布特征，把握数据全貌的方法。一般地说，数据的整理是借助对数据的排序、分组、制作图表等方法进行的，而数据特征数的计算，是通过求数据的平均数、标准差、相关系数等以求了解数据的集中趋势、离散程度以及相关情况等。在教育研究中，有很多情况需要运用描述统计的方法，以便使研究科学合理地进行，得到正确的结论。

一、集中量数
集中量数是用来描述数据分布集中趋势的统计量。它能反映一组数据的分布中，大量数据向某一点集中的情况。常用的集中量数有算术平均数、中位数和众数，其中，在教育研究中，运用较多的是算术平均数。
（一）算术平均数
1．算术平均数的含义
算术平均数是所有观察数据的总和除以数据个数所得的商，简称为平均数或均数、均值。它反映某一现象的数量标志在一定条件下的一般水平，通常用符号 表示，读作x杠，有时也用M表示。它的计算公式为：
（11.1）
式中，N表示数据的个数；
X1,x2,…表示变量X的各次观测结果；
∑是希腊字母，表示连加求和。

2．算术平均数的计算
（1）原始数据求平均数
当一组数据是原始数据时，就把它们直接代入公式11．1来求平均数。
[例1] 已知5个4岁幼儿的身高（单位：cm）分别为：98，99，105，102，101，求他们的平均身高是多少？
解：将5个幼儿的身高代入公式（11.1）得：
(cm)
（2） 分组资料求平均数
如果一组原始数据编成了次数分布表，已经看不到原始数据，在这种情况下，一般采用的方法是：各组组中值乘以各组次数，求其和，再除以总次数，所的结果即为这组数据算术平均数的近似值。其计算公式为：
（11.2）

[例2] 请利用表11—2的资料计算算术平均值。
表11—2 某小班40个儿童身高的平均数计算表
身高

组中值

频数

组中值×频数

101～103

99～101

97～99

95～97

93～95

总和

102

100

98

96

94

3

4

14

13

6

40

306

400

1372

1248

564

3890

（3）加权算术平均数
在进行资料分析时，也会遇到这样的情况：一组同质数据中某些数多次重复出现，或参与计算平均数的每一个数据，在总体中的地位并不一样，即各个数据在其总体中所占的权重不同。这时，必须使用加权算术平均数。
所谓加权算术平均数，是指一组同质数据中每一数值与其对应权数乘积的总和，再除以权数总和所得之商。其公式为：

（11.3）

式中，Wi为相应的权重(=1、2、3…)。
[例3]某幼儿园有4个小班，一班45人，二班40人，三班有42人，四班38人。各班幼儿平均身高分别为78.5、79、80.75、82.5。问如何估计该幼儿园小班全体幼儿的平均身高？
解：因为已知各班人数以及各班的平均身高，估计全年级的总体水平要用加权算术平均数。

3．平均数的优点和缺点
算术平均数是最重要、最完善的集中量数，它具有以下优点：
（1）反应灵敏。观测数据中任何一个数值或大或小的变化，甚至细微的变化，在计算平均数时，都能反映出来。
（2）计算严密。计算平均数有确定的公式，不管何人在何种场合，只要是同一组观测数据，计算的平均数都相同。
（3）计算简单。计算过程只是应用简单的四则运算。
（4）简明易解。平均数概念简单明了，较少数学抽象，容易理解。
（5）适合于进一步用代数方法演算。在求解其他统计特征量时，如方差、标准差等的计算时，都要应用平均数。
（6）较少受抽样变动的影响。观测样本的大小或个体的变化，对计算平均数影响很小。在来自同一总体逐个样本的集中量数中，平均数的波动通常小于其他量数的波动，因此，它总是最可靠、最正确的量数。
但是，算术平均数也有一些缺点，在一定程度上限制了它的应用。比如，计算中，常常会因少数极端值的影响而大大改变其数值，削弱其代表性。有时，在计算平均数时除去极端值，对数据集中趋势的估计效果会更好，特别是数据不属于正态分布时，这种方法更为妥当。在实际生活中，大家常常会看到，在各种比赛中，计算某一选手的平均成绩时，往往是去掉一个最高分和一个最低分，然后再算平均值，这样的做法更科学。

（二）中位数
1．中位数的含义
中位数是按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，即在这组数据中，有一半的数据比它大，有一半的数据比它小。这个数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有的数。中位数，简称中数。
中位数是根据全部观察数值数目确定的，简单明了，便于计算。一般用于下列情况：①由于中位数的计算不需要每个数据都参加，较少受极大值和极小值的影响。因此，当一组观测结果中出现两个极端数目时，往往采用中位数代表集中趋势；②当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时，只能取数据的中位数作为集中趋势的代表值；③当需要快速估计一组数据的代表值时，也常用中位数。
但是，中位数不能用代数法计算，用中位数乘以总次数并不能得出原数值的总和。中位数不像平均数那样容易被人理解，其用处也不如平均数那么广泛。
2．中位数的计算方法
中位数的计算方法是，先把所有数据按照大小顺序排列并编号，然后分三种情况处理：
①当数据的个数n为奇数时，中位数就是正中位置的那个数，即位于第号的数。
②当数据的个数n为偶数时，中位数就是中间两个数值的平均数，即位于第和号的两数的平均数。例如，表11—3中有8个数据，因为n/2=8/2=4，n/2+1=8/2+1=5，故中位数为第4号和第5号数据的平均数，即56+74=65。

表11—3

数据

20

41

53

56

74

79

86

92

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

（三）众数
众数是指一组数据中，出现频数最多的那个数的数值。用M0表示众数。
众数在工作中运用得比较少，主要在以下情况中使用：①需要快速而粗略地寻找一组数据的代表值时；②需要利用算术平均数、中位数、众数三者的关系来粗略地估计频数分布的形态时；③数据分布中有两极端的数值时。