一般地，将指数和定义为如下形式.
　　其中，X 是任意的整数集合，f(n) 是定义在集合 X 上的整值函数.
　　因为对任意的实数 z 都有 jem(z)j = 1，所以
　　通常将上式称为指数和的平凡上界. 如何得到非平凡上界则是重要的研究课题.
　　Weyl[5]，Mordell[6]，Vinogradov[7]，Weil[8]，Hua[9]，Deligne[10] 等都对指数和进行了深入的研究并得到了丰富的研究成果. 特别是 Weil[8] 得到的上界到目前为止都是zuihao的，并且在很多情况下都有很重要的应用.
　　本章将主要研究几类特殊指数和的单个上界估计、gao次均值和混合均值.
　　2.1 经典 Kloosterman 和在光滑数集上的上界估计
　　指数和中的经典 Kloosterman 和zui早出现在 1912 年 Poincar.e 的一篇论文中，当时并没有引起人们足够的重视. 直到 1926 年，Kloosterman[11] 在表整数为四项二次型 ax2 + by2 + cz2 + dt2 的表法个数时再次使用这一和式而得名，具体定义为
　　(2.1.1)
　　其中，表示对所有满足 1 6 n 6 m 且 (n，m) = 1 的整数 n 求和，n 满足同余方程
　　当 m = q 为素数且 (a，b，q) = 1 时，Kloosterman[11] 给出了如下非平凡上界估计.
　　在此基础上，Davenport[12] 将上面的估计改进为 q2=3. Estermann[13] 得到了估计
　　(2.1.2)
　　其中，d(m) 为除数函数，(a，b，m) 表示 a，b，m 的zuida公因数.
　　目前认为式 (2.1.2) 中的估计是zuihao的，因此很多学者尝试通过对 Kloosterman和加权求均值来进一步研究是否存在相消性. 例如，Kuznetsov[14] 利用固定 a，b，对模 m 求和的加权均值来研究 Linnik 猜想. 与此相对应地，Fouvry 等[15]、Niederrei-ter[16]、Shparlinski[17，18]、Khan[19]、Liu 等[20] 通过固定模 m，对系数 a，b 分别求和来研究 Kloosterman 和的加权均值，相关结果都有重要应用.
　　定义不完整的 Kloosterman 和为
　　(2.1.3)
　　其中，利用 Hua[21] 考虑不完整三角和的方法，可得
　　(2.1.4)
　　此外，除了研究 Kloosterman 和在连续数集上的均值估计，近年来很多学者还研究了 Kloosterman 和在一些特殊数集 S 上的问题. 集合 S 越复杂，Kloosterman和的上界越难控制，这使得 Kloosterman 和在特殊数集上的估计越有挑战性.
　　当集合 S 取素数集时，令
　　其中，x > 2，m，a 是整数且 m > 2，(a，m) = 1，p 是素数.
　　当 m = q 为素数时，在 1998 年，Fouvry 和 Michel[22] 得到. 对任意的 ± > 0，存在，使得时，
　　(2.1.5)
　　成立. 2005 年，Bourgain[23] 改进了 Fouvry 和 Michel[22] 的结果并得到当时，式 (2.1.5) 也成立.
　　2011 年，Fouvry 和 Shparlinski[24] 拓展了 Garaev[25] 的工作，将素数模 q 换成合数 m 并得到对任意的 " > 0，当时，有
　　(2.1.6)
　　并通过固定系数 a，对 m 求均值，从而得到
　　(2.1.7)
　　其中.
　　Baker[26] 推广了 Bourgain[23] 的结果，但是对 m 有限制，即满足条件
　　(2.1.8)
　　其中，u 是无平方因子数，v 是完全平方数. 并得到上界估计
　　(2.1.9)
　　式中，
　　显然，他将 x 的下界减小到. 同样地，Baker[26] 改进了式 (2.1.7) 的上界并得到. 当时，有
　　(2.1.10)
　　2014 年，Irving[27] 得到
　　(2.1.11)
　　其中，
　　式 (2.1.11) 的结果比式 (2.1.7) 更强.
　　对于指数和在其他特殊数集上界估计问题的研究还有很多，如 Banks [28]，Shparlinski [29] 和 Gong[30] 研究了指数和、特征和在光滑数集上的问题并得到很hao的上界估计. 本书在此背景下研究 Kloosterman 和在光滑数集以及无平方因子数集上的上界估计.
　　设 x 为正整数，P(x) 表示 x 的zuida素因子，且规定 P(1) = 1. 如果 P(x) 6 y，就称 x 为 y-光滑数，其中 y 为正整数，且.
　　本节主要研究 Kloosterman 和在光滑数集上的均值估计问题，它是 Shparlin-ski[31] 提出的公开问题 20，形式如下.
　　其中，S(x，y) 是 y-光滑数，且
　　为了探究上式是否存在更hao的估计，对和式 T(a，m) 的模 m 求均值
　　其中，m~M 表示.
　　1先给出一些引理作为定理证明的准备.
　　引理 2.1.1 设 m 为正整数且 (m，n) = 1，a 为整数，实数 Y < Z，则有
　　证明 见文献 [24].
　　下面要证明的引理与 Friedlander 和 Iwaniec[32] 的证明思路类似，不同的是将求和区间扩展到任意的区间，且区间长度不限定小于模长 m.
　　引理 2.1.2 设 m 为正整数，a 是与 m 互素的整数. 令 K，L，X，Y 为实数且X，Y > 0，则对于任意 " > 0，有
　　证明 应用 Cauchy 不等式得

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