3.1 haar measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 gauge field measure and gauge invariance . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 group integration measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.3 a few integrals for su(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 gauge invariance and gauge fixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 maximal trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 other gauges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.3 gauge invariance of observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 wilson and polyakov loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.1 definition of the wilson loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2 temporal gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.3 physical interpretation of the wilson loop . . . . . . . . . . . . 55
3.3.4 wilson line and the quark-antiquark pair. . . . . . . . . . . . . 57
3.3.5 polyakov loop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 the static quark potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 strong coupling expansion of the wilson loop . . . . . . . . . 59
3.4.2 the coulomb part of the static quark potential . . . . . . . 62
3.4.3 physical implications of the static qcd potential. . . . . . 63
3.5 setting the scale with the static potential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5.1 discussion of numerical data for the static potential . . . 64
3.5.2 the sommer parameter and the lattice spacing. . . . . . . . 65
3.5.3 renormalization group and the running coupling . . . . . . 67
3.5.4 the true continuum limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6 lattice gauge theory with other gauge groups . . . . . . . . . . . . . . . 69
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 numerical simulation of pure gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1 the monte carlo method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.1 simple sampling and importance sampling . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.3 metropolis algorithm - general idea. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.4 metropolis algorithm for wilson's gauge action. . . . . . . . 79
4.2 implementation of monte carlo algorithms for su(3) . . . . . . . . 80
4.2.1 representation of the link variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.2 boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.3 generating a candidate link for the metropolis update . 83
4.2.4 a few remarks on random numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 more monte carlo algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 the heat bath algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.2 overrelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 running the simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.1 initialization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.2 equilibration updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.3 evaluation of the observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5 analyzing the data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.1 statistical analysis for uncorrelated data . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.2 autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5.3 techniques for smaller data sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5.4 some numerical exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 fermions on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1 fermi statistics and grassmann numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.1 some new notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.2 fermi statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.3 grassmann numbers and derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.4 integrals over grassmann numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

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