5.1.5 gaussian integrals with grassmann numbers . . . . . . . . . . 108
5.1.6 wick's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 fermion doubling and wilson's fermion action . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1 the dirac operator on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.2 the doubling problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.3 wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3 fermion lines and hopping expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3.1 hopping expansion of the quark propagator. . . . . . . . . . . 114
5.3.2 hopping expansion for the fermion determinant . . . . . . . 117
5.4 discrete symmetries of the wilson action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.1 charge conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.2 parity and euclidean reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4.3 γ 5 -hermiticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 hadron spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1 hadron interpolators and correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1.1 meson interpolators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.1.2 meson correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.3 interpolators and correlators for baryons . . . . . . . . . . . . . 129
6.1.4 momentum projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.5 final formula for hadron correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.1.6 the quenched approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2 strategy of the calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2.1 the need for quark sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2.2 point source or extended source? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2.3 extended sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2.4 calculation of the quark propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2.5 exceptional configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.6 smoothing of gauge configurations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 extracting hadron masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3.1 effective mass curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3.2 fitting the correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3.3 the calculation of excited states. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4 finalizing the results for the hadron masses . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4.1 discussion of some raw data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4.2 setting the scale and the quark mass parameters . . . . . . 151
6.4.3 various extrapolations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4.4 some quenched results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7 chiral symmetry on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1 chiral symmetry in continuum qcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.1 chiral symmetry for a single flavor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.2 several flavors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.1.3 spontaneous breaking of chiral symmetry. . . . . . . . . . . . . 160
7.2 chiral symmetry and the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.2.1 wilson fermions and the nielsen-ninomiya theorem . . . 162
7.2.2 the ginsparg-wilson equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2.3 chiral symmetry on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3 consequences of the ginsparg-wilson equation . . . . . . . . . . . . . 166
7.3.1 spectrum of the dirac operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.3.2 index theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3.3 the axial anomaly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.3.4 the chiral condensate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.5 the banks-casher relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

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