7.4 the overlap operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4.1 definition of the overlap operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4.2 locality properties of chiral dirac operators . . . . . . . . . . 178
7.4.3 numerical evaluation of the overlap operator. . . . . . . . . . 179
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8 dynamical fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1 the many faces of the fermion determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.1 the fermion determinant as observable . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.1.2 the fermion determinant as a weight factor . . . . . . . . . . . 186
8.1.3 pseudofermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.1.4 effective fermion action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.1.5 first steps toward updating with fermions . . . . . . . . . . . . 189
8.2 hybrid monte carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.2.1 molecular dynamics leapfrog evolution . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.2.2 completing with an accept-reject step . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.3 implementing hmc for gauge fields and fermions. . . . . . 195
8.3 other algorithmic ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.1 the r-algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.2 partial updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3.3 polynomial and rational hmc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3.4 multi-pseudofermions and uv-filtering . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3.5 further developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.4 other techniques using pseudofermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.5 the coupling-mass phase diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.5.1 continuum limit and phase transitions . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.5.2 the phase diagram for wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . 206
8.5.3 ginsparg-wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.6 full qcd calculations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9 symanzik improvement and rg actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.1 the symanzik improvement program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.1.1 a toy example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.1.2 the framework for improving lattice qcd . . . . . . . . . . . . 215
9.1.3 improvement of interpolators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.1.4 determination of improvement coefficients . . . . . . . . . . . . 219
9.2 lattice actions for free fermions from rg transformations . . . . 221
9.2.1 integrating out the fields over hypercubes . . . . . . . . . . . . 222
9.2.2 the blocked lattice dirac operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.2.3 properties of the blocked action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.3 real space renormalization group for qcd . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.3.1 blocking full qcd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.3.2 the rg flow of the couplings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.3.3 saddle point analysis of the rg equation . . . . . . . . . . . . . 232
9.3.4 solving the rg equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.4 mapping continuum symmetries onto the lattice . . . . . . . . . . . . . 236
9.4.1 the generating functional and its symmetries . . . . . . . . . 236
9.4.2 identification of the corresponding lattice symmetries . . 238
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10 more about lattice fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.1 staggered fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.1.1 the staggered transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.1.2 tastes of staggered fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.1.3 developments and open questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10.2 domain wall fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.2.1 formulation of lattice qcd with domain wall fermions . 250

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