10.2.2 the 5d theory and its equivalence to 4d chiral
fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.3 twisted mass fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.3.1 the basic formulation of twisted mass qcd . . . . . . . . . . 254
10.3.2 the relation between twisted and conventional qcd . . . 256
10.3.3 o(a) improvement at maximal twist . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.4 effective theories for heavy quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4.1 the need for an effective theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4.2 lattice action for heavy quarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.4.3 general framework and expansion coefficients . . . . . . . . . 263
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
11 hadron structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.1 low-energy parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.1.1 operator definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
11.1.2 ward identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
11.1.3 naive currents and conserved currents on the lattice . . . 274
11.1.4 low-energy parameters from correlation functions . . . . . 278
11.2 renormalization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11.2.1 why do we need renormalization? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11.2.2 renormalization with the rome-southampton method . 281
11.3 hadronic decays and scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.3.1 threshold region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.3.2 beyond the threshold region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.4 matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.4.1 pion form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.4.2 weak matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
11.4.3 ope expansion and effective weak hamiltonian . . . . . . . 295
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
12 temperature and chemical potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.1 introduction of temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.1.1 analysis of pure gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.1.2 switching on dynamical fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
12.1.3 properties of qcd in the deconfinement phase . . . . . . . . 310
12.2 introduction of the chemical potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.2.1 the chemical potential on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.2.2 the qcd phase diagram in the (t, μ) space . . . . . . . . . . 317
12.3 chemical potential: monte carlo techniques . . . . . . . . . . . . . . . . 318
12.3.1 reweighting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.3.2 series expansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
12.3.3 imaginary μ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
12.3.4 canonical partition functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
a appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327
a.1 the lie groups su(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
a.1.1 basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
a.1.2 lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
a.1.3 generators for su(2) and su(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
a.1.4 derivatives of group elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
a.2 gamma matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
a.3 fourier transformation on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
a.4 wilson's formulation of lattice qcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
a.5 a few formulas for matrix algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

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