题文

已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除．那么，最小的一个自然数是______．

题型：填空题  难度：中档

答案

答：本题所求的数有三个要求，我们采取逐个满足的方法．因为13A+1=15B得：A= 15B-1 13 = 13B+2B-1 13 =B+ 2B-1 13 ， 到此可抓住式子的特点，看出A或B的取值．有上式可看出B最小取7， 2B-1 13 可得整数1，则当B=7时，A=8，此时N=105，这时已满足了前两个要求，但105除以17不余16， 接着我们可以105不断的加13和15的最小公倍数的倍数，（这样的目的是为了使前两个的要求不变，加13的倍数除以13还余1，加15的倍数除以15还整除）直到找到有一个除以17余16的数，这个数就是最小的一个． 13和15的最小公倍数是195，我们可以把可以把符合除以17余16的数用105+195D来表示，当然一个个试105+195D是否能除以17余16比较麻烦，可我们仍然可以用前面的方法． 因为105+195D=17C-1，得D= 195D+106 17 = 17×11D+8D+6×17+4 17 =11D+6+ 8D+4 17 ，看 8D+4 17 ，8D+4要是17的倍数比较容易确定，8D+4是偶数， 因此只能是17的偶数倍，34不行，68时，D=8．当D=8时，C=11×8+6+ 8×8+4 17 =98，则N=17×98-1=1664，故已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除．那么，最小的一个自然数是 1664． 故答案为：1664．

据专家权威分析，试题“已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被..”主要考查你对  整除和除尽  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整除和除尽

考点名称：整除和除尽

• 定义：
  1、整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除，或数b能整除数a。 
  
  2、数a除以数b（b≠0），除得的商是整数或是有限小数，这就叫做除尽。如果商是无限小数，就叫除不尽。
  

• 整除和除尽的关系：
  整除是除尽的特殊形式，能整除的算式一定能除尽，但能除尽的算式不一定能整除。
  
  整除规则：
  第一条（1）：任何数都能被1整除。  
  第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。   
  第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。   
  第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。   
  第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。   
  第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。   
  第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。   
  第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。   
  第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。   
  第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除