题文

已知两个自然数的和是60，他们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数各是多少？

题型：解答题  难度：中档

答案

设所求二数为x，y，且（x，y）=d，令x=ad，y=bd，则（a，b）=1． 根据题意有 a+b= 60 d 1+ab= 84 d ， 由于（60，84）=12， 所以d=l，2，3，4，6，12． 而当d：1，2，3，4，6时，方程组无解． 当d=12时，方程组变为 a+b=5 ab=6 ， 解得 a=2 b=3 或 a=3 b=2 ． 故所求的两数为x=24，y=36． 答：这两个自然数为24和36．

据专家权威分析，试题“已知两个自然数的和是60，他们的最大公约数与最小公倍数之和是84..”主要考查你对  最大公因数（最大公约数），最小公倍数  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

最大公因数（最大公约数），最小公倍数

考点名称：最大公因数（最大公约数），最小公倍数

• 最大公因数（最大公约数）：
  任何两个自然数都有公因数1，（除零以外）公因数中（几个）最大的称为最大公因数；
  最小公倍数：
  在两个或两个以上的自然数中，如果他们有相同的倍数，这些倍数中，最小的称为这些整数的最大公倍数。

• 最大公约数的求法：
  （1）用分解质因数的方法，把公有的质因数相乘。
  （2）用短除法的形式求两个数的最大公约数。
  （3）特殊情况：如果两个数互质，它们的最大公约数是1。
  如果两个数中较小的数是较大的数的约数，那么较小的数就是这两个数的最大公约数。
  
  最小公倍数的方法：
  （1）用分解质因数的方法，把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘。
  （2）用短除法的形式求。
  （3）特殊情况：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
  如果两个数中较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。